數據包絡分析(DEA)方法.

二、數據包絡分析(DEA)方法數據包絡分析(data envelopment analysis, DEA)是由著名運籌學家Charnes, Cooper和Rhodes于1978年提出的，它以相對效率概念為基礎，以凸分析和線性規劃為工具，計算比較具有相同類型的決策單元(Decision making unit，DMU)之間的相對效率，依此對評價對象做出評價[。DEA方法一出現，就以其獨特的優勢而受到眾多學者的青睞，現已被應用于各個領域的績效評價中[2],[3]。在介紹DEA方法的原理之前，先介紹幾個基本概念:1.決策單元一個經濟系統或一個生產過程都可以看成是一個單位(或一個部門)在一定可能范圍內，通過投入一定數量的生產要素并產出一定數量的“產品”的活動。雖然這種活動的具體內容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產出”需要經過一系列決策才能實現，或者說，由于“產出”是決策的結果，所以這樣的單位(或部門)被稱為決策單元(DMU)。因此，可以認為，每個DMU(第i個DMU常記作DMUi)都表現出一定的經濟意義，它的基本特點是具有一定的投入和產出，并且將投入轉化成產出的過程中，努力實現自身的決策目標。在許多情況下，我們對多個同類型的DMU更感興趣。所謂同類型的DMU，是指具有以下三個特征的DMU集合：具有相同的目標和任務；具有相同的外部環境；具有相同的投入和產出指標。2.生產可能集設某個DMU在一項經濟(生產)活動中有m項投入，寫成向量形式為；產出有s項，寫成向量形式為。于是我們可以用來表示這個DMU的整個生產活動。定義1.稱集合為所有可能的生產活動構成的生產可能集。在使用DEA方法時，一般假設生產可能集T滿足下面四條公理:公理1(平凡公理): 。公理2(凸性公理):集合T為凸集。如果, 且存在滿足則。公理3(無效性公理)：若,則。，公理4 (錐性公理):集合T為錐。如果那么對任意的。若生產可能集Ｔ是所有滿足公理1 , 2 , 3和4的最小者，則T有如下的唯一表示形式。3.技術有效與規模收益(1)技術有效：對于任意的，若不存在，且，則稱為技術有效的生產活動。(2)規模收益：將產出和投入的同期相對變化比值稱為規模效益。若，說明規模收益遞增，這時可以考慮增大投入；若，說明規模收益遞減，這時可以考慮減小投入；若，說明規模收益不變，且稱為規模有效。(一) DEA方法原理與CCR模型DEA方法的基本原理是：設有n個決策單元，它們的投入，產出向量分別為：，。由于在生產過程中各種投入和產出的地位與作用各不相同，因此，要對DMU進行評價，必須對它的投入和產出進行“綜合”，即把它們看作只有一個投入總體和一個產出總體的生產過程，這樣就需要賦予每個投入和產出恰當的權重。假設投入、產出的權向量分別為和，從而就可以獲得如下的定義。定義2. 稱為第個決策單元的效率評價指數。根據定義可知，我們總可以選取適當的權向量使得。如果想了解某個決策單元，假設為在這n個決策單元中相對是不是“最優”的，可以考察當和盡可能地變化時，的最大值究竟為多少? 為了測得的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母縮寫)模型：(1)利用Charnes和Cooper (1962)[4]提出的分式規劃的Charnes-Cooper變換:,,變換后我們可以得到如下的線性規劃模型： (2)根據線性規劃的相關基本理論，可知模型(2)的對偶問題表達形式： (3)上述的模型是基于所有決策單元中“最優”的決策單元作為參照對象，從而求得的相對效率都是小于等于1的。模型(2)或者(3)將被求解n次，每次即得一個決策單元的相對效率。模型(3)的經濟含義是：為了評價的績效，可以用一組假想的組合決策單元與其進行比較。模型(3)的第一和第二個約束條件的右端項分別是這個組合決策單元的投入和產出。從而，模型(3)意味著，如果所求出的效率最優值小于1，則表明可以找到這樣一個假想的決策單元，它可以用少于被評價決策單元的投入來獲取不少于該單元的產出，即表明被評價的決策單元為非DEA有效。而當效率值為1時，決策單元為DEA有效。有關DEA有效根據松弛變量是否都為零還可以進一步分為弱DEA有效與DEA有效兩類。即通過考察如下模型中的與的值來判別。(4)其中為非阿基米德無窮小量。根據上述模型給出被評價決策單元有效性的定義：定義3.若模型(4)的最優解滿足，則稱為弱DEA有效。定義4.若模型(4)的最優解滿足，且有，成立，則稱為DEA有效。定義5.若模型(4)的最優解滿足，則稱為非DEA有效。對于非DEA有效的決策單元，有三種方式可以將決策單元改進為有效決策單元：保持產出不變，減少投入；保持投入不變增大產出；減小投入的同時也增大產出。CCR模型容許DMU在減小投入的

總結

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