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1、平穩隨機過程的功率譜密度,一、平穩過程的功率譜密度,假如 x( t ) 滿足狄利克雷 (Dirichlet) 條件,且,絕對可積, 即,那么 x(t) 的傅里葉,變換存在或者說具有頻譜,且同時有傅里葉逆變換,一、平穩過程的功率譜密度,設有時間函數,一般是復數量, 其共軛函數,1. 平均功率和能量譜密度,等式,稱為x(t)的能量譜密度,帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的譜表示式,平均功率,上的平均功率,平均功率的譜表示式,由給定的 x( t ) 構造一個截尾函數,絕對可積,它的帕塞瓦爾等式,變形得,稱為 x( t ) 的平均功率譜密度,2. 平穩過程的平均功率和能量譜密度,交換定義式中積分與均值的運。

2、算順序, 并注意,到平穩過程的均方值是常數, 于是,平穩過程的平均功率,該過程的 均方值,平穩過程 X(t) 的功率譜密度,即,稱為平穩過程 X( t ) 的平均功率的譜表示式,也簡稱為自譜密度或譜密度, 它是從頻率這個角度描述 X( t ) 的統計規律的最主要的數字特征,物理意義: 表示 X( t ) 的平均功率關于頻率的分布,二、譜密度的性質,性質1,性質2,它們統稱為維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式,說明,1. 平穩過程在自相關函數絕對可積的條件下,維納-辛欽公式成立,都是偶函數, 所以維納-辛欽,公式還可以寫成如下的形式,的譜表示式.它揭示了從時間角度描述平穩過程X。

3、(t,的統計規律和從頻率角度描述X(t)的統計規律之間,的聯系,在應用上我們可以根據實際情形選擇時間域方法或等價的頻率域方法去解決實際問題,3. 維納-辛欽公式又稱為平穩過程自相關函數,例1,已知譜密度,求平穩過程 X( t ) 的自相關函數和均方值,解,由公式知自相關函數,利用留數定理, 可算得,均方值為,說明,有理譜密度,在實際問題中常常碰到這樣一些平穩過程, 它們的自相關函數或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在, 此時如果允許譜密度和自相關函數含有函數, 有關實際問題仍能得到圓滿解決,在這種情況下, 自相關函數為常數或正弦型函數的平穩過程, 其譜密度都是離散的,解,所要求的譜密。

4、度為,相應的譜密度如圖所示,此圖說明了譜密度 是如何表明噪聲以 外的周期信號的,例2,白噪聲,均值為零而譜密度為正常數, 即,的平穩過程X(t) 稱為白噪聲過程, 簡稱白噪聲,其名出于白光具有均勻光譜的緣故,2. 白噪聲的自相關函數,1. 定義,是不相關的,1) 白噪聲也可定義為均值為零、自相關函數為,說明,2)白噪聲是一種理想化的數學模型. 它的平均功 率是無限的. 白噪聲在數學處理上具有簡單、方便優點. 如果某種噪聲(或干擾)在比實際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內, 具有比較 “平坦” 的譜密度, 那就可把它近似地當作白噪聲來處理,三、互譜密度及其性質,互譜密度的定義,設 X( t ) 和Y。

5、( t ) 是兩個平穩相關的隨機過程,稱,為平穩過程 X( t ) 和 Y( t ) 的互譜密度,說明,互譜密度的性質,2. 在互相關函數,絕對可積的條件下, 有如,下維納-辛欽公式,4. 互譜密度與自譜密度之間成立有不等式,注意,1) 在應用上當考慮多個平穩過程之和的頻率結構時, 要運用互譜密度,例如,其中 X( t ) 和 Y( t ) 是平穩相關的,Z( t ) 的自相關函數是,根據維納-辛欽公式, Z( t ) 的自譜密度為,2) 互譜密度并不象自譜密度那樣具有物理意義,引入這個概念主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩過程的相關性,例如: 對具有零均值的平穩過程 X( t ) 和 Y( t ),根據性質(2,解,功率譜密度為常數的平穩過程是白噪聲,例3,解,例4,解,方法1,例5,平均功率為,方法2。

總結

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