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1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度,一、平穩(wěn)過程的功率譜密度,假如 x( t ) 滿足狄利克雷 (Dirichlet) 條件,且,絕對可積, 即,那么 x(t) 的傅里葉,變換存在或者說具有頻譜,且同時有傅里葉逆變換,一、平穩(wěn)過程的功率譜密度,設(shè)有時間函數(shù),一般是復(fù)數(shù)量, 其共軛函數(shù),1. 平均功率和能量譜密度,等式,稱為x(t)的能量譜密度,帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的譜表示式,平均功率,上的平均功率,平均功率的譜表示式,由給定的 x( t ) 構(gòu)造一個截尾函數(shù),絕對可積,它的帕塞瓦爾等式,變形得,稱為 x( t ) 的平均功率譜密度,2. 平穩(wěn)過程的平均功率和能量譜密度,交換定義式中積分與均值的運。

2、算順序, 并注意,到平穩(wěn)過程的均方值是常數(shù), 于是,平穩(wěn)過程的平均功率,該過程的 均方值,平穩(wěn)過程 X(t) 的功率譜密度,即,稱為平穩(wěn)過程 X( t ) 的平均功率的譜表示式,也簡稱為自譜密度或譜密度, 它是從頻率這個角度描述 X( t ) 的統(tǒng)計規(guī)律的最主要的數(shù)字特征,物理意義: 表示 X( t ) 的平均功率關(guān)于頻率的分布,二、譜密度的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,它們統(tǒng)稱為維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式,說明,1. 平穩(wěn)過程在自相關(guān)函數(shù)絕對可積的條件下,維納-辛欽公式成立,都是偶函數(shù), 所以維納-辛欽,公式還可以寫成如下的形式,的譜表示式.它揭示了從時間角度描述平穩(wěn)過程X。

3、(t,的統(tǒng)計規(guī)律和從頻率角度描述X(t)的統(tǒng)計規(guī)律之間,的聯(lián)系,在應(yīng)用上我們可以根據(jù)實際情形選擇時間域方法或等價的頻率域方法去解決實際問題,3. 維納-辛欽公式又稱為平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù),例1,已知譜密度,求平穩(wěn)過程 X( t ) 的自相關(guān)函數(shù)和均方值,解,由公式知自相關(guān)函數(shù),利用留數(shù)定理, 可算得,均方值為,說明,有理譜密度,在實際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程, 它們的自相關(guān)函數(shù)或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在, 此時如果允許譜密度和自相關(guān)函數(shù)含有函數(shù), 有關(guān)實際問題仍能得到圓滿解決,在這種情況下, 自相關(guān)函數(shù)為常數(shù)或正弦型函數(shù)的平穩(wěn)過程, 其譜密度都是離散的,解,所要求的譜密。

4、度為,相應(yīng)的譜密度如圖所示,此圖說明了譜密度 是如何表明噪聲以 外的周期信號的,例2,白噪聲,均值為零而譜密度為正常數(shù), 即,的平穩(wěn)過程X(t) 稱為白噪聲過程, 簡稱白噪聲,其名出于白光具有均勻光譜的緣故,2. 白噪聲的自相關(guān)函數(shù),1. 定義,是不相關(guān)的,1) 白噪聲也可定義為均值為零、自相關(guān)函數(shù)為,說明,2)白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型. 它的平均功 率是無限的. 白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便優(yōu)點. 如果某種噪聲(或干擾)在比實際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內(nèi), 具有比較 “平坦” 的譜密度, 那就可把它近似地當(dāng)作白噪聲來處理,三、互譜密度及其性質(zhì),互譜密度的定義,設(shè) X( t ) 和Y。

5、( t ) 是兩個平穩(wěn)相關(guān)的隨機過程,稱,為平穩(wěn)過程 X( t ) 和 Y( t ) 的互譜密度,說明,互譜密度的性質(zhì),2. 在互相關(guān)函數(shù),絕對可積的條件下, 有如,下維納-辛欽公式,4. 互譜密度與自譜密度之間成立有不等式,注意,1) 在應(yīng)用上當(dāng)考慮多個平穩(wěn)過程之和的頻率結(jié)構(gòu)時, 要運用互譜密度,例如,其中 X( t ) 和 Y( t ) 是平穩(wěn)相關(guān)的,Z( t ) 的自相關(guān)函數(shù)是,根據(jù)維納-辛欽公式, Z( t ) 的自譜密度為,2) 互譜密度并不象自譜密度那樣具有物理意義,引入這個概念主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性,例如: 對具有零均值的平穩(wěn)過程 X( t ) 和 Y( t ),根據(jù)性質(zhì)(2,解,功率譜密度為常數(shù)的平穩(wěn)過程是白噪聲,例3,解,例4,解,方法1,例5,平均功率為,方法2。

總結(jié)

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