文章目錄

一、本次問題

1.利用第一天所學知識求解：

2.本題理解：

（1）分支界定法

背景：

基本理論（解題步驟）：

求解實現1：

1.第一步

2.第二步

3.第三步

4.第四步

結論：綜上，最優解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最優值：340?

求解實現2：

結果2：最優解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最優值：340?

?求解實現3：

結果3：最優解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最優值：340?

總結：

---

一、本次問題

1.利用第一天所學知識求解：

建模學習打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

代碼如下：

%打卡第一天 clear all clc c=[40 90];%用目標函數系數來確定 a=[9 7 ;7 20];%不等式約束條件左邊約束 b=[56 70];%不等式約束條件右邊系數 aeq=[];%沒有等式約束，因此aeq,beq都為空 beq=[]; lb=[0;0];%沒有下限 ub=[inf;inf];%沒有上限 [x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); x %獲取對應x1,x2 best=c*x%計算最優值

2.本題理解：

由于問題要求求解結果都為整數，所以第一問結果錯誤，那么我們該如何求得想要得整數解呢？

（1）分支界定法

背景：

今天利用matlab來實現求解完全整數規劃問題的分支定界法。這里求解的模型為目標函數最小化模型:

基本理論（解題步驟）：

• 分支定界法：用以求解整數規劃問題的一種方法。
• 求解步驟：
  首先我們規定求解的整數規劃問題為A，相應的線性規劃問題為B

對問題B進行求解
1. 若B無可行解，則A也無可行解，停止計算
2. 若B有最優解，且符合整數條件，該最優解為A的最優解，停止計算
3. 若B有最優解，但不符合整數條件，記它的目標函數值為z*，作為最優值的下界

找出問題A的一個整數可行解，其目標函數值作為最優解的上界

進行迭代

分支，在B的最優解中任選一個不符合整數條件的變量x j x_jxj?，其值為b j b_jbj?，構造兩個約束條件，，分別加入到問題B中，形成兩個子問題B1?、B2?。不考慮整數條件求解這兩個子問題。即分支

定界。對每個后繼問題表明其求解的結果，與其他問題進行比較，將最優目標函數值最小者（不包括問題B）作為新的下界，在已符合整數條件的各分支中，找出目標函數值最小者作為新的上界。

剪枝，將目標函數值不在上界、下界中的分支剪去

重復1 2 3，直到得到最優解
注意事項：在對兩分支進行分解時，優先選擇目標函數值最小的分支進行分解。

分支定界法中，通過定界進而進行剪枝，對分支進行了篩選，使我們僅在一部分可行解中尋求最優解，而不是全部窮舉出來再尋找，其求解效率更高。

求解實現1：

linprog函數及其參數的意義請看建模學習打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

簡單介紹下，首先MATLAB中求解的是目標函數是最小值的問題，但如果我們的目標函數是求最大值，可以通過對目標函數中每一項中乘以-1，將求最大值問題轉化為求最小值問題；A，b分別為不等式約束中的系數矩陣。Aeq和beq分別為等式約束中的系數矩陣，lb，和ub分別為每個變量的上下區間；最后c為目標函數中各變量的系數矩陣。

1.第一步

根據上面給出的結果，知道結果不符合題意。

于是我們可以暫定z的上限（最大值）為356，又因為當x1，x2全為0時，z也為0，所以可以暫定z的范圍為 0<= z <= 356；并且將對x1值的范圍兩種情況定為問題A和問題B，并分別為枝干求解

---

2.第二步

首先，我們對A問題進行分支，改變x1的約束條件，不改變x2的約束條件，即對x1分支得兩個子集

x1 =<[4.8092] = 4 ， x1 >= [4.8092] +1 = 5

約束條件變為：

9*x1+7*x2<=56 7*x1+20*x2<=70 0<x1<4或x1>5 x2>0

先對0<x1<4求解??代碼如下：

clc clear allc=[40 90];%用目標函數系數來確定 a=[9 7 ;7 20];%約束條件左邊約束 b=[56 70];%約束條件右邊系數aeq=[];%沒有等式約束，因此aeq,beq都為空 beq=[];lb=[0;0];%下限依然都為0 ub=[4;inf];%x1上限為4，x2沒有上限[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %這里沒有等式約束，對應的矩陣為空矩陣 x %獲取對應x1,x2 best=c*x%計算最優值

結果為：此時的最優解 x1=4 , x2=2.1 ; 最優值為 349。也不符合題意，所以舍

再對 x1 > 5求解 代碼如下：

clc clear allc=[40 90];%用目標函數系數來確定 a=[9 7 ;7 20];%約束條件左邊約束 b=[56 70];%約束條件右邊系數aeq=[];%沒有等式約束，因此aeq,beq都為空 beq=[];lb=[5;0];% x1的下限變成5，x2下限依然都為0 ub=[inf;inf];%x1，x2沒有上限 1 [x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %這里沒有等式約束，對應的矩陣為空矩陣 x %獲取對應x1,x2 best=c*x%計算最優值

結果為：此時的最優解 x1=5?, x2=1.5714?; 最優值為 341.4286。也不符合題意，所以舍

---

3.第三步

通過第二部對問題A的分支，我們可以進一步暫定 z 的范圍為 0<= z <= 249，又因為第二步中只有x2的為小數，因此我們也就對問題B x2的范圍進行限定為 (同上) ：

0=<x2<[2.1]=2,x2>[2.1]+1=3

此時約束條件：

9*x1+7*x2<=56 7*x1+20*x2<=70 0<=x1<=4 2>x2>0 或 x2>3

先對約束條件 0<=x1<=4,0<=x2<=2求解? 代碼如下：

clc clear allc=[40 90];%用目標函數系數來確定 a=[9 7 ;7 20];%約束條件左邊約束 b=[56 70];%約束條件右邊系數aeq=[];%沒有等式約束，因此aeq,beq都為空 beq=[];lb=[0;0];%下限依然都為0 ub=[4;2];%x1上限為4，x2上限為2[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %這里沒有等式約束，對應的矩陣為空矩陣 x %獲取對應x1,x2 best=c*x%計算最優值

結果：此時的最優解 x1=4?, x2=2?; 最優值為 340。符合題意，所以暫時留著

?再對約束條件 0<=x1<=4,x2>=3求解? 代碼如下：

clc clear allc=[40 90];%用目標函數系數來確定 a=[9 7 ;7 20];%約束條件左邊約束 b=[56 70];%約束條件右邊系數aeq=[];%沒有等式約束，因此aeq,beq都為空 beq=[];lb=[0;3];% x1下限依然都為0，x2下限為3 ub=[4;inf];%x1上限為4，x2無上限[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %這里沒有等式約束，對應的矩陣為空矩陣 x %獲取對應x1,x2 best=c*x%計算最優值

結果:此時的最優解 x1=1.4286?, x2=3?; 最優值為 327.1429。不符合題意，所以舍

---

4.第四步

通過上前的，我們可以進一步確定z的范圍：0<= z <=241,此時我們已對問題A完成了完美分支，接下來我需對問題B再進行分支

根據上面的結果，x2=1.5714為小數，因此我們對B中的x2進行分支。

0=<x2<[1.5714]=1,x2>[1.5714]+1=2

?此時條件約束：

9*x1+7*x2<=56 7*x1+20*x2<=70 x1>=5 1>x2>0 或 x2>2

?先對x1>=5，1>x2>0求解，代碼如下：

clc clear allc=[40 90];%用目標函數系數來確定 a=[9 7 ;7 20];%約束條件左邊約束 b=[56 70];%約束條件右邊系數aeq=[];%沒有等式約束，因此aeq,beq都為空 beq=[];lb=[5;0];% x1下限為5，x2下限為0 ub=[inf;1];%x1無上限，x2上限為1[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %這里沒有等式約束，對應的矩陣為空矩陣 x %獲取對應x1,x2 best=c*x%計算最優值

結果為：此時的最優解 x1=5.4444?, x2=1?; 最優值為 307.7778。不符合題意，所以舍

?再對x1>=5，x2>2求解，代碼如下：

clc clear allc=[40 90];%用目標函數系數來確定 a=[9 7 ;7 20];%約束條件左邊約束 b=[56 70];%約束條件右邊系數aeq=[];%沒有等式約束，因此aeq,beq都為空 beq=[];lb=[5;2];% x1下限為5，x2下限為2 ub=[inf;inf];%x1無上限，x2無上限[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %這里沒有等式約束，對應的矩陣為空矩陣 x %獲取對應x1,x2 best=c*x%計算最優值

結果：此時無解

?

結論：綜上，最優解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最優值：340?

至于結果為負是因為matlab求解線性規劃轉化為求最小值

---

求解實現2：

?linprog函數及其參數的意義請看建模學習打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

簡單介紹下，首先MATLAB中求解的是目標函數是最小值的問題，但如果我們的目標函數是求最大值，可以通過對目標函數中每一項中乘以-1，將求最大值問題轉化為求最小值問題；A，b分別為不等式約束中的系數矩陣。Aeq和beq分別為等式約束中的系數矩陣，lb，和ub分別為每個變量的上下區間；最后c為目標函數中各變量的系數矩陣。

但線性規范有兩種比較特殊的情況，即整數規劃和0-1整數規劃。在之前（不知MATLAB幾之前……），MATLAB是不能直接求解這兩種規劃的，bintprog函數可以用來求0-1整數規劃，但求解過程比較麻煩，而且最新版的MATLAB已經遺棄了這個函數，同時提供了一個比較新的、專用于求解整數規劃和0-1整數規劃的函數——intlinprog。intlinprog的一個原型為：

[x,fval,exitflag]= intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

該函數的使用和linprog函數的使用十分相似，其僅僅在linprog函數的基礎上多了一個參數——intcon。在函數intlinprog中，intcon的意義為整數約束變量的位置。在本題中整數變量為x1，x2，所以intcon=[1,2]；fval為最優化的值，一般是一個標量，exitflag意為函數的退出標志。

本題代碼如下：

clear all clcc=[-40 -90];%用目標函數系數來確定 A=[9 7;7 20];%約束條件左邊約束 b=[56 70];%約束條件右邊系數 %lb=zeros(2,1);% 生成一個2行1列的全0矩陣,很顯示，上面例子中的x,y的最小值為0 %intcon=[1,2];%整數約束變量的位置 %[x,fval,exitflag]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,[]) %用矩陣lb求不用設置上限lb=[0;0];%下限依然都為0 ub=[inf;inf];%x1沒有上限，x2沒有上限 intcon=[1,2];%整數約束變量的位置 [x,fval,exitflag]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,ub) %此時需要設置上下限

結果2：最優解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最優值：340?

至于結果為負是因為matlab求解線性規劃轉化為求最小值

---

?求解實現3：

linprog函數及其參數的意義請看建模學習打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

簡單介紹下，首先MATLAB中求解的是目標函數是最小值的問題，但如果我們的目標函數是求最大值，可以通過對目標函數中每一項中乘以-1，將求最大值問題轉化為求最小值問題；A，b分別為不等式約束中的系數矩陣。Aeq和beq分別為等式約束中的系數矩陣，lb，和ub分別為每個變量的上下區間；最后c為目標函數中各變量的系數矩陣。

1.首先我們需要定義一個滿足分支定理條件的函數：

%A,b,c分別對應此題的不等式約束系數矩陣，不等式約束常數向量，目標函數系數向量 %Aeq 等式約束系數矩陣, Beq 等式約束常數向量 %vlb 定義域的下界 vub 定義域的上界 %optXin 每次迭代的最優x optF 每次迭代最優的f值 iter迭代次數function [xstar, fxstar, flagOut, iter] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, vub, optXin, optF, iter)global optX optVal optFlag;%將最優解定義為全局變量iter = iter + 1;optX = optXin; optVal = optF;%更新迭代得到的值% options = optimoptions("linprog", 'Algorithm', 'interior-point-legacy', 'display', 'none');[x, fit, status] = linprog(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, vub, []);%status返回算法迭代停止原因%status = 1 算法收斂于解x，即x是線性規劃的最優解if status ~= 1%沒有找到最優解，此分支不用繼續迭代下去，返回xstar = x;fxstar = fit;flagOut = status;return;endif max(abs(round(x) - x)) > 1e-3%找到的函數最優解仍不是整數解if fit > optVal %此題求解的是max,此時的函數值大于之前解得的值xstar = x;fxstar = fit;flagOut = -100;return;endelse%此時解得的函數解為整數解，此分支求解結束，不再繼續向下求解，返回if fit > optVal %此題求解的是max,此時的函數值大于之前解得的值xstar = x;fxstar = fit;flagOut = -101;return;else %解出的值<之前解得的值，先放入全局變量中暫時存放optVal = fit;optX = x;optFlag = status;xstar = x;fxstar = fit;flagOut = status;return;endendmidX = abs(round(x) - x);%得到x對應的小數部分notIntV = find(midX > 1e-3);%得到非整數的x的索引值，find()函數返回非0的索引值pXidx = notIntV(1);%得到第一個非整數x的下標索引tempVlb = vlb;%臨時拷貝一份tempVub = vub;%fix(x) 函數將x中元素零方向取整if vub(pXidx) >= fix(x(pXidx)) + 1%原上界大于此時找到的分界的位置值tempVlb(pXidx) = fix(x(pXidx)) + 1;%將這個分界位置值作為新的下界參數傳入，進一步遞歸[~, ~, ~] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, tempVlb, vub, optX, optVal, iter + 1);endif vlb(pXidx) <= fix(x(pXidx))%原下界小于此時找到的分界的位置值tempVub(pXidx) = fix(x(pXidx));%將這個分界位置值作為新的上界參數傳入，進一步遞歸[~, ~, ~] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, tempVub, optX, optVal, iter + 1);endxstar = optX;fxstar = optVal;flagOut = optFlag; end

2.調用上面函數對問題進行求解：

%A,b,c分別對應此題的不等式約束系數矩陣，不等式約束常數向量，目標函數系數向量 %Aeq 等式約束系數矩陣, Beq 等式約束常數向量 %lb 定義域的下界 ub 定義域的上界clear all clcA = [9 7;7 20]; b = [56 70]; c = [-40,-90];%標準格式是求min，此題為max，需要轉換一下lb = [0; 0];%x值的初始范圍下界 ub=[inf;inf];%x值的初始范圍上界optX = [0; 0];%存放最優解的x，初始迭代點(0,0) optVal = 0;%最優解 [x, fit, exitF, iter] = BranchBound1(c,A, b,[], [], lb, ub, optX, optVal, 0)

結果3：最優解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最優值：340?

至于結果為負是因為matlab求解線性規劃轉化為求最小值

總結：

綜上所述：最優解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最優值：340? 為正解；本次通過學習分支界定法求整數線性規劃，學了很長時間，最終功夫不負有心人啊！！如果本文章有錯誤問題，請大家指出！！感謝！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的整数线性规划实现（matlab分枝界定法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。