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實 驗 報 告

課程名稱數(shù)值分析實驗項目名稱數(shù)值積分實驗類型上機實驗學時班級學號姓名指導(dǎo)教師實驗室名稱實驗時間2014.11.19實驗成績預(yù)習部分實驗過程

表現(xiàn)實驗報告

部分總成績教師簽字日期

實驗三 數(shù)值積分

一．數(shù)值積分的基本思想

1.復(fù)合梯形公式：Tn=2；

2.復(fù)合辛普森公式：Sn=[f(a)+f(b)+2+4]；

以上兩種算法都是將a-b之間分成多個小區(qū)間(n),則h=(b-a)/n,xk=a+kh, xk+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求積根據(jù)兩公式便可。

3.龍貝格算法：在指定區(qū)間內(nèi)將步長依次二分的過程中運用如下公式

(1)Sn=T2n-Tn

(2)Cn=S2n-Sn

(3)Rn=C2n-Cn4

T =T - T，k = 1，2，…

二、計算流程圖

1、復(fù)合梯形和復(fù)合辛普森算法框圖：

下圖是龍貝格算法框圖：

自適應(yīng)辛普森積分算法流程框圖：

二.實驗題目及實驗?zāi)康?/p>

實驗題目：用不同數(shù)值方法計算積分 = -。

(1)取不同的步長h。分別用復(fù)合梯形及復(fù)合辛普森求積計算積分，給出誤差中關(guān)于h的函數(shù)，并與積分精確值比較兩個公式的精度，是否存在一個最小的h，使得精度不能再被改善？

(2)用龍貝格求積計算完成問題(1)。

(3)用自適應(yīng)辛普森積分，使其精度達到10。

實驗?zāi)康?#xff1a;

了解并掌握matlab軟件的基本編程、操作方法；

初步了解matlab中的部分函數(shù)，熟悉循環(huán)語句的使用；

通過上機進一步領(lǐng)悟用復(fù)合梯形、復(fù)合辛普森公式，以及用龍貝格求積

方法計算積分的原理。

三．實驗手段：

指操作環(huán)境和平臺:win7系統(tǒng)下MATLAB R2009a

程序語言：一種類似C語言的程序語言，但比C語言要寬松得多，非常方便。

四.程序

①復(fù)合梯形求積程序

function t=TiXing_quad(a,b,.h)

format long

x=a:h:b;

y=sqrt(x).*log(x);

y(1)=0;

t=0;

for k=1:(b-a)/h,

t= t+y(k)+y(k+1);

end

t=t*h/2;

②復(fù)合辛普森求積程序

function s=Simpson_quad(a,b,h)

format long

x=a:h:b;

y=sqrt(x).*log(x);

z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);

y(1)=0;

s=0;

for k=1:(b-a)/h,

s= s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);

end

s=s*h./6;

③龍貝格求積程序

function [q,R]=Romberg(a,b,eps)

h=b-a;

R(1,1)=h*(0+sqrt(b).*log(b))/2;

M=1;

J=0;

err=1;

while err>eps

J=J+1;

h=h/2;

S=0;

for p=1:M

x=a+h*(2*p-1);

S=S+sqrt(x).*log(x);

end

R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S;

M=2*M;

for k=1:J

R(J+1,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k))/(4^k-1);

end

err=abs(R(J+1,J)-R(J+1,J+1));

end

q=R(J+1,J+1);

控制臺輸入代碼：

(1)

>> a=0;

>> b=1;

>> h=0.2;

>> t=TiXing_quad(a,b,h)

>> s=Simpson_quad(a,b,h)

>> h=0.02;

>> t=TiXing_quad(a,b,h)

>> s=Simpson_quad(a,b,h)

>> h=0.002;

>> t=TiXing_quad(a,b,h)

>> s=Simpson_quad(a,b,h)

(2)

>> a=0;

>> b=1;

>> eps=10^-8;

>> [quad,R]=Romberg(a,b,eps)

(3)

>> a=0;

>> b=1;

>> eps=10^-4;

>> q=ZiShiYingSimpson('sqrt(x).*log(x)',a,b,eps)

實驗結(jié)果比較與分析

(1)

h = 0.2時，結(jié)果如下：

h = 0.02時，結(jié)果如下：

h = 0.002時；得到的結(jié)果如下：

由結(jié)果(1)可知對于同一步長h，復(fù)合辛普森法求積分精度明顯比復(fù)合梯形法求積的精度要高，且當步長取不

總結(jié)

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