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數學建模

摘要

本文針對嘌呤霉素在某項酶促反應中對反應速度和底物濃度之間的關系的影響的問題，根據實際可知符合底物濃度與反應速度的模型有兩種，即Michaelis-Menten模型和指數增長模型。對于Michaelis-Menten模型，例題中已經詳細分析，不再詳細討論。本論文旨在建立指數模型對實際數據進行擬合分析。

由酶促反應的基本性質知，酶濃度x和反應速度y之間滿足當底物濃度較小時，反應速度大致與濃度成正比；在底物濃度很大，漸進飽和時，反應速度將趨于一個固定值，由此建立一個指數增長模型 并使用Matlab中nlinfit函數對給出數據進行非線性回歸，用cftool函數對結果進行驗證，確定出

此時 。

為使模型更加準確，改進模型為 ，用同樣的方法進行擬合與分析，得出 ， 和 ，此時 。

同過兩個對模型進行預測與做殘差圖等方法，我們發現第二個模型相比第一個有所改進。

我們通過對實際問題的仔細分析，把實際問題轉化成為數學上求解線性回歸的問題，并建立了廣為大家所熟悉的數學模型指數模型。通過數學軟件的求解，得出模型中變量的系數。由于模型中的有些參數是估計的，考慮到實際與理論的差距，為了是使理論分析更貼近生活實際，我們從簡略模型到優化模型進行了進一步分析，通過計算機利用數學軟件MATLAB對問題進行了求解分析，得到了比較客觀的分析結果。最后我們還根據模型的特點，對模型進行了推廣，使其更具有一般性，能夠解決更多實際問題。

關鍵詞：指數模型 非線性回歸 MATLAB nlinfit cftool 殘差圖

一、問題提出

某生化系學生為了研究嘌呤霉素在某項酶促反應中對反應速度和底物濃度之間的關系的影響，設計了兩個實驗，一個實驗中使用的酶是經過嘌呤霉素處理的，而另一個是未經過嘌呤霉素處理的，所的實驗數據見下表

底物濃度/ppm0.020.060.110.220.561.10反應速度處理

764797107123139159152191201207200未處理6751848698115131124144158160——對實驗處理結果實際數據做非線性回歸分析，其結果如何？試做模型的殘差圖進行比較。

二、基本假設

1、假設1. 當底物濃度較小時，反應速度大致與濃度成正比(即一級反應)；

2、假設2. 當底物濃度很大時，漸進飽和時，反應速度將趨于一個固定值—最終反應速度(即零級反應)

3、假設3. 反應速度與底物濃度成正比關系，即線性關系；

4、假設4. 反應速度不受外界溫度的影響，而酶的活性在反應中一直保持不變。

三、符號說明

符號意義單位備注酶促反應速度ppm/h底物濃度ppm系數/a系數b系數

四、問題分析

酶促反應動力學簡稱酶動力學，主要研究酶促反應的速度和底物濃度以及其他因素的關系。在底物濃度低時，酶促反應是一級反應；在底物濃度高時，酶促濃度是零級反應。

當反應濃度低時，反應速度大致與濃度成正比；當濃度很大時，漸進飽和時，反應速度趨近于一個固定值——最終反應速度。

以下指數增長模型滿足這個性質

即 與

下面分別對這兩個模型進行分析求解。

五、模型的建立與求解

5.1 模型一建立與求解

5.1.1 模型一的分析

由給出模型，先用Matlab中的nlinfit函數可求出系數，此處需先給出系數的初始值進行迭代，根據函數意義，為最終反映速度， 反映該酶促反應達最終速度的快慢，粗略估其值為220與10.

5.1.2 模型一模型的建立

5.1.3 模型一模型的求解

利用MATLAB統計工具箱中的nlinfit命令代入初值進行求解，將得到的結果作為初值再次代入到模型中求解，得到穩定的系數(見下表)。

參數參數估計值參數置信區間192.0945[173.8772 210.3117]11.3854[7.7571 15.0137]rmse(剩余標準差)=17.44005.1.4 模型一結果的分析及驗證

用MATLAB中cftool函數進行驗證，得出結果如下：

f(x) = a*(1-exp((-b)*x))

Coefficients (with 95% confidence bounds):

a = 192.1 (173.9, 210.3)

b = 11.38 (7

總結

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