【概述】

對一個具有 n 個點的連通圖進行遍歷，對于遍歷后的子圖，其包含原圖中所有的點且保持圖連通，最后的結構一定是一個具有 n-1 條邊的樹，通常稱為生成樹。

在生成樹問題中，最常見的問題就是最小生成樹問題，所謂最小生成樹，就是對于一個有 n 個點的無向連通圖的生成樹，其包含原圖中的所有點，且保持圖連通的邊權總和最少的邊。

簡單來說，對于一個有 n 個點的圖，邊一定是大于等于 n-1 條的，最小生成樹，就是在這些邊中選擇 n-1 條出來連接所有的 n 個點，且這 n-1 條邊的邊權之和是所有方案中最小的。

最小生成樹具有以下兩條性質：

• 切割性質：連接點 x、y 的邊權最小的邊必定被生成樹包含
• 回路性質：任意回路/環上的邊權最大的邊必不被生成樹包含

求最小生成樹一般有 Prim 算法與 Kruskal 算法，其中，Prim 算法時間復雜度為 O(V*V)，與圖中邊數無關，適合稠密圖；Kruskal 算法時間復雜度 為O(ElogE)，需要對圖的邊進行訪問，適合稀疏圖。

Prim：點擊這里

Kruskal：點擊這里

【常見問題模型】

在生成樹問題中，除了最常見的最小生成樹問題外，還有以下常見的問題模型：

曼哈頓距離最小生成樹：點擊這里

次小生成樹：點擊這里

最小樹形圖：點擊這里

最小瓶頸生成樹：點擊這里

增量最小生成樹：點擊這里

最小瓶頸路：點擊這里

生成樹計數：點擊這里

【例題】

1.最小生成樹

還是暢通工程（HDU-1233）(Prim)：點擊這里

Jungle Roads（HDU-1301）(Prim)：點擊這里

Eddy's picture（HDU-1162）(Prim)：點擊這里

最短網絡（信息學奧賽一本通-T1350）：點擊這里

繁忙的都市（信息學奧賽一本通-T1392）(Prim)：點擊這里

最優布線問題（信息學奧賽一本通-T1349）(Prim)：點擊這里

繼續暢通工程（HDU-1879 ）(Kruskal)：點擊這里

Constructing Roads（HDU-1102）(Kruskal)：點擊這里

局域網（信息學奧賽一本通-T1391）(Kruskal)：點擊這里

聯絡員（信息學奧賽一本通-T1393）(Kruskal)：點擊這里

連接格點（信息學奧賽一本通-T1394）(Kruskal)：點擊這里

城市公交網絡建設問題（信息學奧賽一本通-T1348）(Kruskal)：點擊這里

Pseudoforest（HDU-3367）(Kruskal)：點擊這里

Connect the Cities（HDU-3371）(Kruskal)：點擊這里

Building Roads（POJ-3625）(預處理+Prim)：點擊這里

Built?（AtCoder-2643）(Kruskal+貪心)：點擊這里

Find the most comfortable road（HDU-1598）(最大生成樹+貪心)：點擊這里

Applese 的大獎（2019牛客寒假算法基礎集訓營 Day4-G）(限制條件下的最小生成樹)：點擊這里

2.曼哈頓距離最小生成樹

擴散（洛谷-P1661）(樸素的曼哈頓最小生成樹+最長邊)：點擊這里
同題：擴散（信息學奧賽一本通-T1437）：點擊這里

Object Clustering（POJ-3214）(曼哈頓最小生成樹+第k大的邊)：點擊這里

3.次小生成樹

The Unique MST（OpenJ_Bailian-1679）(次小生成樹)：點擊這里

Qin Shi Huang's National Road System（HDU-4081）(次小生成樹思想)：點擊這里

4.最小樹形圖

Command NetWork（POJ-3164）(定根的最小樹形圖)：點擊這里

Ice_cream’s world II（HDU-2121）(超級源點的使用)：點擊這里

Road Repairs（CF-240E）(路徑的輸出)：點擊這里

5.最小瓶頸生成樹

Out of Hay（POJ-2395）：點擊這里

6.增量最小生成樹

Trail Maintenance（LightOJ-1123）：點擊這里

7.最小瓶頸路

?營救（洛谷-P1396）(單次查詢)：點擊這里

8.生成樹計數

Highways（SPOJ-104）(生成樹計數)：點擊這里

最小生成樹計數（HYSBZ-1016）(最小生成樹計數簡化版)：點擊這里
同題：最小生成樹計數（洛谷-P4208）：點擊這里

最小生成樹計數（HYSBZ-1016）(最小生成樹計數加強版)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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