线性结构 —— 前缀和
【概述】
前綴和是一種及其優(yōu)秀的線性結(jié)構(gòu)，也是一種重要的思想，能極大的降低區(qū)間查詢的時(shí)間復(fù)雜度。
前綴和又分為一維前綴和、二維前綴和，其與差分?jǐn)?shù)組密切相關(guān)，關(guān)于差分?jǐn)?shù)組：點(diǎn)擊這里
【一維前綴和】
假設(shè)有一串長(zhǎng)度為 n 的序列，再給出 m 次詢問，每次詢問給出 L、R 兩個(gè)數(shù)，要求求出區(qū)間?[L,R] 的和，如果不使用前綴和的話，每次都遍歷一遍給出的區(qū)間，計(jì)算出答案，這樣時(shí)間復(fù)雜度會(huì)達(dá)到 O(n*m)，極有可能會(huì) TLE，而使用前綴和來做的話，能將時(shí)間復(fù)雜度降到 O(n+m)，極大的減少了時(shí)間。
前綴和的第 i 項(xiàng)就是一個(gè)序列前面 i 個(gè)數(shù)的總和，在一個(gè)序列經(jīng)過 n?次求和次操作后，對(duì)于 m 次詢問，每次只需要計(jì)算 sum[R]-sum[L-1] 即可得到所需的答案。
前綴和求法如下：
sum[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];對(duì)于已求出的前綴和，區(qū)間 [L,R] 的和即為：res=sum[R]-sum[L-1]
int query(int L,int R){return sum[R]-sum[L-1]; }對(duì)于異或操作，其符合前綴和性質(zhì)，有：?a[l] ^ a[l+1]?^ a[l+2]...?^ a[r] = a[r]，因此，如要求異或和的最大連續(xù)子段和，有：
int query(){int res=0;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=i; j<=n; j++)res=max(res,sum[j]^sum[i-1]);return res; }當(dāng)給出 m 個(gè)操作，要求將區(qū)間 [L,R] 中的所有元素都加/減 x，再給出 q 個(gè)詢問求 [L,R] 的和，這個(gè)時(shí)候就利用上了差分?jǐn)?shù)組，開一個(gè)數(shù)組 f 作為差分?jǐn)?shù)組，存儲(chǔ)每一次的修改操作，最后在求前綴和的時(shí)候進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，即可得到答案
int n,m,q; int a[N]; int f[N],sum[N]; void update(int L,int R,int x){f[L]+=x;f[R+1]-=x; } void init(){//求前綴和int tot=0;for(int i=1;i<=n;i++){//通過差分?jǐn)?shù)組計(jì)算新序列tot+=f[i];a[i]=a[i]+tot;}for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i]; } int query(int L,int R){//查詢區(qū)間return sum[R]-sum[L-1]; } int main(){cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;i++)//輸入序列cin>>a[i];while(m--){//m個(gè)操作int l,r,x;cin>>l>>r>>x;update(l,r,x);}init();//獲取前綴和while(q--){//q次詢問int l,r;cin>>l>>r;cout<<query(l,r)<<endl;}return 0; }【二維前綴和】
假設(shè)有一個(gè) n*m 大小的矩陣 A，再給出有 q 次詢問，每次詢問給出 x1、y1、x2、y2 四個(gè)數(shù)，要求輸出以 (x1,y1) 為左上角坐標(biāo)和以 (x2,y2) 為右下角坐標(biāo)的子矩陣的所有元素和。?
同一維前綴和一樣，如果對(duì)于每次詢問都進(jìn)行暴力查詢，那么時(shí)間復(fù)雜度極大，一定會(huì) TLE，此時(shí)可以利用二維前綴和來求解。
以上圖中 a[3][3]=13?為例，a[3][3] 的前綴和，是以黑框框起來的子矩陣元素之和，從遞推的角度來看，sum[3][3]=sum[3][2]+sum[2][3]-sum[2][2]，以此類推，有：sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]
int sum[N][N]; void init(){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]; }如上文敘述，每次要查詢的答案是上圖中黃色的部分，可以看出，黃色=四個(gè)區(qū)域-(藍(lán)色+綠色)-(藍(lán)色+紅色)+藍(lán)色，那么當(dāng)給出 x1、y1、x2、y2 時(shí)，要查詢的值即為：res=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y2-1]+sum[x1-1][y-1]
int query(int x1,int y1,int x2,int y2){return sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]; }?
與一維前綴和相同，當(dāng)給出 k 個(gè)操作，要求將以 (x1,y1) 為左上角 (x2,y2) 為右上角的子矩陣中的所有元素都加/減 x，再給出 q 個(gè)詢問子矩陣的和，這個(gè)時(shí)候就利用上了差分?jǐn)?shù)組，開一個(gè)數(shù)組 f 作為差分?jǐn)?shù)組，存儲(chǔ)每一次的修改操作，最后在求前綴和的時(shí)候進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，即可得到答案
int n,m,k,q; int a[N][N]; int sum[N][N]; int f[N][N]; int query(int x1,int y1,int x2,int y2) { //查詢r(jià)eturn sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]; } void update(int x1,int y1,int x2,int y2,int x) { //更新f[x1][y1]+=x;f[x1][y2+1]-=x;f[x2+1][y2+1]+=x;f[x2+1][y1]-=x; } void init() { //求前綴和int tot=0;for(int i=1; i<=n; i++) { //通過差分?jǐn)?shù)組計(jì)算新序列for(int j=1; j<=m; j++) {tot+=f[i][j];a[i][j]=a[i][j]+tot;}}for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=m; j++)sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]; } int main() {cin>>n>>m>>k>>q;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=m; j++)cin>>a[i][j];while(k--) { //k次操作int x1,y1,x2,y2,x;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x;update(x1,y1,x2,y2,x);}init();//求前綴和while(q--) { //q次查詢int x1,y1,x2,y2;cin>>x1>>y1>>x2>>y2;int res=query(x1,y1,x2,y2);}return 0; }【例題】
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的线性结构 —— 前缀和的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 图论 —— 环与块 —— 连通块的计数
- 下一篇： 只包含因子 2 3 5 的数（51Nod