MATLAB數值積分與微分

8.1?數值積分

8.1.1?數值積分基本原理

求解定積分的數值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區間[a,b]分成n個子區間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。

8.1.2?數值積分的實現方法

1．變步長辛普生法

基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數來求定積分。該函數的調用格式為：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被積函數名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現積分過程，若取非0則展現積分過程，取0則不展現，缺省時取trace=0。返回參數I即定積分值，n為被積函數的調用次數。

例8-1?求定積分。

(1)?建立被積函數文件fesin.m。

function

f=fesin(x)

f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);

(2)?調用數值積分函數quad求定積分。

[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)

S =

0.9008

n =

77

2．牛頓－柯特斯法

基于牛頓－柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數來求定積分。該函數的調用格式為：

[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)

其中參數的含義和quad函數相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數調用的步數明顯小于quad函數，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。

例8-2?求定積分。

(1)?被積函數文件fx.m。

function

f=fx(x)

f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));

(2)?調用函數quad8求定積分。

I=quad8('fx',0,pi)

I =

2.4674

例8-3?分別用quad函數和quad8函數求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數的調用次數。

調用函數quad求定積分：

format

long;

fx=inline('exp(-x)');

[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)

I =

0.28579444254766

n =

65

調用函數quad8求定積分：

format

long;

fx=inline('exp(-x)');

[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)

I =

0.28579444254754

n =

33

3．被積函數由一個表格定義

在MATLAB中，對由表格形式定義的函數關系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數。其中向量X,Y定義函數關系Y=f(X)。

例8-4?用trapz函數計算定積分。

命令如下：

X=1:0.01:2.5;

Y=exp(-X);?%生成函數關系數據向量

trapz(X,Y)

ans =

0.28579682416393

8.1.3?二重定積分的數值求解

使用MATLAB提供的dblquad函數就可以直接求出上述二重定積分的數值解。該函數的調用格式為：

I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)

該函數求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區域上的二重定積分。參數tol，trace的用法與函數quad完全相同。

例8-5?計算二重定積分

(1)?建立一個函數文件fxy.m：

function

f=fxy(x,y)

global

ki;

ki=ki+1;?%ki用于統計被積函數的調用次數

f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);

(2)?調用dblquad函數求解。

global

ki;ki=0;

I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)

ki

I =

1.57449318974494

ki =

1038

8.2?數值微分

8.2.1?數值差分與差商

8.2.2?數值微分的實現

在MATLAB中，沒有直接提供求數值導數的函數，只有計算向前差分的函數diff，其調用格式為：

DX=diff(X)：計算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。

DX=diff(X,n)：計算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。

DX=diff(A,n,dim)：計算矩陣A的n階差分，dim=1時(缺省狀態)，按列計算差分；dim=2，按行計算差分。

例8-6?生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]為基礎的范得蒙矩陣，按列進行差分運算。

命令如下：

V=vander(1:6)

DV=diff(V)?%計算V的一階差分

例8-7?用不同的方法求函數f(x)的數值導數，并在同一個坐標系中做出f'(x)的圖像。

程序如下：

f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');

g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');

x=-3:0.01:3;

p=polyfit(x,f(x),5);?%用5次多項式p擬合f(x)

dp=polyder(p);?%對擬合多項式p求導數dp

dpx=polyval(dp,x);?%求dp在假設點的函數值

dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;?%直接對f(x)求數值導數

,diff是后一個數減去前一個數。在最后面加了一個點3.01->才能求出x=3的微分值。n+1個點中間有n段線段

gx=g(x);?%求函數f的導函數g在假設點的導數

plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');?%作圖

一、Z = trapz(X,Y,dim)

梯形數值積分，通過已知參數x,y按dim維使用梯形公式進行積分。

例1 計算int(sin(x),0,pi)

>>x=0:pi/100:2*pi;

>>y=sin(x);

>>z=trapz(x,y)%或者說使用z =

pi/100*trapz(y)

z =

1.0300e-017

>>z = pi/100*trapz(y)

二、[q,fcnt]=

quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)

自適應simpson公式數值積分，適用于精度要求低，被積函數平滑性較差的數值積分。

注意事項：

1.被積函數fun必須是函數句柄；

2.積分限[a,b]必須是有限的，因此不能為inf；

3.p1為其他需要傳遞的參數，一般是數值。

可能警告：

1.'Minimum step size reached'

意味著子區間的長度與計算機舍入誤差相當，無法繼續計算了。原因可能是有不可積的奇點；

2.'Maximum function count exceeded'

意味著積分遞歸計算超過了10000次。原因可能是有不可積的奇點；

3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

意味著在積分計算時，區間內出現了浮點數溢出或者被零除。

例2 計算積分1/(x^3-2*x-p)，其中參數p=5，積分區間為[0,2]。

>>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);

>>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%或者使用

quad(F,0,2,[],[],5)效果是一樣的，只是前者使用的函數嵌套。

Q =

-0.4605

>>quad(F,0,2,[],[],5)

ans =

-0.4605

三、[q,fcnt] =

quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)

自適應Lobatto數值積分，適用于精度要求高，被積函數曲線比較平滑的數值積分。

注意事項：

同quad

可能警告：

同quad

例3 計算積分1/(x^3-2*x-p)，其中參數p=5，積分區間為[0,2]。

>>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);

>>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%或者Q =

quadl(@(x)F(x,5),0,2)。

Q =

-0.4605

四、[q,errbnd] =

quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)

自適應Gauss-Kronrod數值積分，適用于高精度和震蕩數值積分，支持無窮區間，并且能夠處理端點包含奇點的情況，同時還支持沿著不連續函數積分，復數域線性路徑的圍道積分法。

注意事項：

1.積分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必須快速衰減；

2.被積函數在端點可以有奇點，如果區間內部有奇點，將以奇點區間劃分成多個，也就是說奇點只能出現在端點上；

3.被積函數可以劇烈震蕩；

4.可以計算不連續積分，此時需要用到'Waypoints'參數，'Waypoints'中的點必須嚴格單調；

5.可以計算圍道積分，此時需要用到'Waypoints'參數，并且為復數，各點之間使用直線連接；

6.param,val為函數的其它控制參數，比如上面的'waypoints'就是，具體看幫助。

出現錯誤：

1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in

use'

2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

例4 計算有奇點積分int(exp(x)*log(x),0,1)。

>>F=@(x)exp(x).*log(x);%奇點必須在端點上，否則請先進行區間劃分。

>>Q = quadgk(F,0,1)

Q =

-1.3179

例5 計算半無限震蕩積分int(x^5*exp(-x)*sin(x),0,inf)。

>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

>>fplot(F,[0,100])%繪圖，看看函數的圖形

>>[q,errbnd] =

quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%積分限中可以有inf，但必須快速收斂

q =

-15.0000

errbnd =

9.4386e-009

例6

計算不連續積分，積分函數為f(x)=x^5*exp(-x)*sin(x)，但是人為定義f(2)=1000，f(5)=-100，積分區間為[1

10]。

>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

>>[q,errbnd] =

quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%顯然2，5為間斷點

q =

-10.9408

errbnd =

3.2296e-014

例7 計算圍道積分，在復數域內，積分函數1/(2*z-1)，積分路徑為由[-1-i 1-i 1+i -1+i

-1-i]圍成的矩形邊框。

>>Waypoints=[-1-i 1-i 1+i -1+i

-1-i];

>>plot(Waypoints);%繪制積分路徑

>>xlabel('Real axis');ylabel('Image

axis');axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);grid on;

>>Q = quadgk(@(z)1./(2*z -

1),-1-i,-1-i,'Waypoints',[1-i,1+i,-1+i])%注意各點間使用直線連接

ans =

0.0000 + 3.1416i

>> quadgk(@(z)1./(2*z -

1),-1-i,-1-i,'Waypoints',Waypoints)%使用這個的效果也是一樣的，就是說始末點可以隨便包不包含在Waypoints中。

ans =

0.0000 + 3.1416i

五、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)

矢量化自適應simpson數值積分。

注意事項：

1.該函將quad函數矢量化了，就是一次可以計算多個積分；

2.所有的要求完全與quad相同。

例8 計算下面積分，分別計算n=1,2...,5時的5個積分值，被積函數1/(n+x)，積分限為[0,1]。

>>for k =

1:5,?Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);end;Qs

Qs =

0.6931?0.4055?0.2877?0.2231?0.1823

>>F=@(x,n)1./((1:n)+x);%定義被積函數

>>quadv(@(x)F(x,5),0,1)%我們可以完全使用quadv函數替換上面循環語句的，建議使用后者

ans =

0.6931?0.4055?0.2877?0.2231?0.1823

六、q =

dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)

矩形區域二重數值積分，一般區域二重積分參見NIT(數值積分工具箱)的quad2dggen函數。

例9 計算下面二重積分

>>F = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);

>Q = dblquad(F,pi,2*pi,0,pi)

Q =

-9.8696

七、q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)

長方體區域三重數值積分，注意此時沒有一般區域的三重積分。

例10 計算下面三重積分。

>>F =

@(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x);

>>Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1)

Q =

2.0000

八、超維長方體區域多重積分

quadndg：NIT工具箱函數，可以解決多重超維長方體邊界的定積分問題，但沒有現成的一般積分區域求解函數。

下面總結下：

(1)quad：采用自適應變步長simpson方法，速度和精度都是最差的，建議不要使用；

(2)quad8：使用8階Newton-Cotes算法，精度和速度均優于quad，但在目前版本下已被取消；

(3)quadl：采用lobbato算法，精度和速度均較好，建議全部使用該函數；

(4)quadg：NIT(數值積分)工具箱函數，效率最高，但該工具箱需要另外下載；

(5)quadv：quad的矢量化函數，可以同時計算多個積分；

(6)quadgk：很有用的函數，功能在Matlab中最強大；

(7)quad2dggen：一般區域二重積分，效率很好，需要NIT支持；

(8)dblquad：長方形區域二重積分；

(9)triplequadL：長方體區域三重積分；

(10)quadndg：超維長方體區域積分，需要NIT支持。

int的積分可以是定積分，也可以是不定積分(即有沒有積分上下限都可以積)，可以得到解析的解，比如你對x^2積分，得到的結果是1/3*x^3，這是通過解析的方法來解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的結果是7/3

；

quad是數值積分，它只能是定積分(就是有積分上下限的積分)，它是通過simpson數值積分來求得的(并不是通過解析的方法得到解析解，再將上下限代入，而是用小梯形的面積求和得到的)。如果f=inline(‘x.^2′);quad(f,1,2)得到的結果是2.333333，這個數并不是7/3

；

最新心得：

看一本書上介紹quad積分時，是創建了一個子函數形式，如

function f=quadl(x)

f=x.^2;

Q=quad(‘quadl’,0,2)

結果Q =

2.6667

如果函數中有一個已知變量如a的話，如

function f=quadl(x)

a=2;

f=a+x.^2;

Q=quad(‘quadl’,0,2)

結果Q =

6.6667

當用使用inline函數的時候可以避免調用子函數的麻煩，直接把這個功能集成于總程序，如

f=inline(‘x.^2′);quad(f,1,2)

但是當函數為

a=2；

f=inline(‘a+x.^2′);

quad(f,1,2)

計算就會出錯，說明inline中不能帶已知的字母。

但是很多時候，變量a是循環變化的，這樣就導致這種調用子函數的方法非常不好用，

a不能及時改變，下面的方法可以解決這個問題：

a=2;

f=@(x)(a+x.^2);

Q=quad(f,0,2)

結果Q =

6.6667 正確

用@來表達函數要比inline應用更廣，在循環中應用更有利！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的quad8是matlab中调用那个,Matlab 数值积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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