基于matlab及龍格庫塔法求解布拉修斯方程

Runge—Kutta法求解布拉修斯解

摘要

薄剪切層方程主要有三種解法，即相似解，非相似條件下對偏微分方程組的數(shù)值解和近似解。布拉修斯解是布拉修斯于1908年求出的，它是零攻角沿平板流動的相似解。本文用四階Runge—Kutta法求解高階微分方程的方法，并用matlab編程實(shí)現(xiàn)，求得了與實(shí)際層流邊界層相符合的數(shù)值解。

關(guān)鍵詞：布拉修斯解，相似解，Runge—Kutta法，數(shù)值解。

1 布拉修斯近似解方程

二維定常不可壓縮層流邊界層的方程為：

(1)

(2)

邊界條件為

將式(1)和式(2)進(jìn)行法沃克納—斯坎變換(簡稱F—S變換)，將邊界層方程無量綱化，即設(shè)

(3)

(4)

得出F—S變換后的動量方程

(5)

其中k為流動類型指標(biāo)，橫曲率項(xiàng)t為

(6)

m是量綱一的壓力梯度參數(shù)，定義為

(7)

其邊界條件變?yōu)?/p>

對于二維平面實(shí)壁流動()可以忽略橫曲率項(xiàng)t的軸對稱流動，式(5)成為

(8)

根據(jù)相似解的定義，方程(8)中的函數(shù)f若式相似的，則它應(yīng)只與η有關(guān)而與x無關(guān)，即對x的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零。于是方程(8)應(yīng)成為

(9)

若fw為常數(shù)，則方程(9)的邊界條件為

；

2 布拉修斯解

布拉修斯于1908年求出了零攻角沿平板流動的解。這時(shí)

因而方程(9)成為

(10)

此即布拉修斯方程。對于實(shí)壁，，邊界條件成為

；

3 Runge—Kutta法求解

Runge—Kutta通過將高階微分方程化為一階線性方程組，從而解出高階方程的數(shù)值解。在方程(10)中令

(11)

于是方程(10)變?yōu)?/p>

(12)

當(dāng)區(qū)步長為h，有四階Runge—Kutta的形式如下

(13)

使用matlab軟件取步長為0.2，迭代100步視作η→無窮大。迭代到第40步左右就收斂了，迭代結(jié)果如下(本文附錄有全程序源代碼)

表格 1平板層流邊界層方程的數(shù)值解

f0000.332060.20.0066410.0664080.331990.40.026560.132770.331470.60.0597360.198940.330080.80.106110.264710.3273910.165570.329780.323011.20.237950.393780.316591.40.322990.456270.307871.60.420330.516760.296671.80.529520.574760.2829320.650030.629770.266752.20.78120.681320.248352.40.92230.728990.228092.61.07250.772460.206462.81.2310.811510.1840131.39680.846050.161363.21.56910.876090.139133.41.7470.901770.117883.61.92950.923330.0980873.82.1160.941120.08012642

總結(jié)

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