一、平衡二叉樹

1.1 什么是平衡二叉樹？

規定在插入和刪除二叉樹結點時，要保證任意結點的左、右子樹高度之差的絕對值不可以超過1

平衡因子：結點左子樹和右子樹的結點高度差為該結點的平衡因子，也就是說平衡樹的平衡因子只可能是-1,0,1

如下圖，結點53左子樹高度為3，右子樹高度為2，所以結點53的平衡因子為1

1.2 為什么需要平很二叉樹？

為了避免樹的高度增長過快，降低二叉樹的性能

如下圖，左邊的圖的最壞查找情況為O(n)，而右邊圖的最壞查找情況為O(logn)

1.3 平衡二叉樹的機制？

總綱：調整過程應該是自下而上的

無論是插入還是刪除，改變一個結點的位置就會導致一棵二叉樹的平衡因子改變。因此，在每插入或者刪除一個結點之后，需要重新計算二叉樹各個結點的平衡因子。若右結點的平衡因子大于1，那么需要調整這棵二叉樹為平衡二叉樹。當該樹再次稱為平衡二叉樹之后，再進行下一步的插入或刪除操作。

1. LL型

口訣：左失衡，中為支，高右旋

解釋：如果對于LL型二叉樹轉為平衡二叉樹不是很了解，背口訣套就是了。但是，終究要了解為什么這么做。在這一步的過程中，其實不需要死記硬背，只需要記住每一步的調整滿足二叉排序的性質和定義，然后從整棵二叉樹分析，在{20,23,45}，平衡因子在結點45時絕對值大于1，這么調整{20,23,45}為一棵平衡二叉樹。顯然，讓中間結點23（23大于20且小于45）作為根，結點20和結點45分別作為結點23的左右孩子結點，符合調整意圖

調整過程如下圖所示

2. RR型

口訣：右失衡，中為支，高左旋

解釋：同樣的道理。從整棵二叉樹分析，在{65,70,75}，平衡因子在結點65時絕對值大于1，這么調整{65,70,75}為一棵平衡二叉樹。顯然，讓中間結點70（70大于65且小于75）作為根，結點65和結點75分別作為結點70的左右孩子結點，符合調整意圖

調整過程如下圖所示

3. LR型

口訣：下二整體左旋，后與LL型調整一樣

解釋：下二整體左旋的目的就是在局部形成類似LL型失衡情況一樣。在這一步的過程中（下二整體左旋），同樣不需要死記硬背，只要滿足一棵二叉排序樹就可以。比如下圖的操作，將結點25作為結點23的雙親結點，同時，23比25小，所以結點23是結點25的左孩子結點。此時，整棵樹就是LL型的二叉樹

調整過程如下圖所示

4. RL型

口訣：下二整體右旋，后與RR型調整一樣

解釋：下二整體右旋的目的就是在局部形成類似RR型失衡情況一樣。在這一步的過程中，將結點68作為結點70的雙親結點，同時，70比68大，所以結點70是結點68的右孩子結點。此時，整棵樹就是RR型的二叉樹，做RR調整就可以了

調整過程如下圖所示

二、哈夫曼樹

1.1 什么是哈夫曼樹？

給定N個權值作為N個葉子結點，構造一棵二叉樹，若該樹的帶權路徑長度達到最小，稱這樣的二叉樹為最優二叉樹，也稱為哈夫曼樹

在深入了解哈夫曼樹之前，我們需要先知道一些必要的基本概念。

路徑和路徑長度：在一棵樹中，從一個結點往下可以達到的孩子或孫子結點之間的通路，稱為路徑。通路中分支的數目稱為路徑長度。若規定根結點的層數為1，則從根結點到第L層結點的路徑長度為L-1。

結點的權及帶權路徑長度：若將樹中結點賦給一個有著某種含義的數值，則這個數值稱為該結點的權。結點的帶權路徑長度為：從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。

樹的帶權路徑長度：樹的帶權路徑長度規定為所有葉子結點的帶權路徑長度之和，記為WPL(Weighted Path Length)。

如下圖：

圖a：$WPL=7?2+5?2+2?2+4?2=36$

圖b：$WPL=7?3+5?3+2?1+4?2=46$

圖c：$WPL=7?1+5?2+2?3+4?3=35$

比較得知：圖c中樹的WPL最小，所以圖3為一棵哈夫曼樹

1.2 為什么使用哈夫曼樹？

在計算機數據處理中，哈夫曼編碼使用變長編碼表對源符號進行編碼，其中變長編碼表是通過一種評估來源符號出現機率的方法得到的，出現機率高的字母使用較短的編碼，反之出現機率低的則使用較長的編碼，這便使編碼之后的字符串的平均長度、期望值降低，從而達到無損壓縮數據的目的。

簡單的來說，就按出現的頻率不同，把高頻率出現的目標放在距離根結點近的位置，低頻率出現的目標放在距離根結點源的位置，這樣就使得查找效率提高。

1.3 如何使用哈夫曼樹？

給定n個權值分別為 $w_1,w_2,\dots ，w_n$ 的結點，通過哈夫曼算法可以構造出最優二叉樹。

將這n個結點分別作為n棵僅含一個結點的二叉樹，構成森林。

構成一個新的結點，從森林中選取兩棵根結點最小的樹作為新結點的左、右子樹，并且將新結點的的權值置為左、右子樹上根結點的權值和

從森林中刪除步驟2選出的樹，同時將新得到的樹放入森林中

重復步驟2和3，直到森林中只剩下一棵樹

哈夫曼樹有如下特點：

每個初始結點最終都成為葉結點，且權值越小的結點到根結點的路徑越長

構造過程中共新建了$n?1$個結點，因此哈夫曼樹中的結點總數為 $2n?1$

每次構造都選擇2棵樹作為新結點的孩子，因此哈夫曼樹中不存在度為1的結點

哈夫曼樹的構造過程

最后穩一點，大家認為哈夫曼樹是唯一的嘛？顯然不是。因為二叉樹是分左右結點的，比如上圖(c)中，結點c是雙親結點的左孩子結點，結點d是雙親結點的右孩子結點，二者交換位置也是可以的，并不影響整棵樹是一棵哈夫曼樹（WPL沒有改變）。所以哈夫曼樹答案不唯一。

1.4 哈夫曼編碼

為使不等長編碼為前綴編碼(即要求一個字符的編碼不能是另一個字符編碼的前綴)，可用字符集中的每個字符作為葉子結點生成一棵編碼二叉樹，為了獲得傳送報文的最短長度，可將每個字符的出現頻率作為字符結點的權值賦予該結點上，顯然字使用頻率越小權值越小，權值越小葉子就越靠下，于是頻率小編碼長，頻率高編碼短，這樣就保證了此樹的最小帶權路徑長度效果上就是傳送報文的最短長度。

因此，求傳送報文的最短長度問題轉化為求由字符集中的所有字符作為葉子結點，由字符出現頻率作為其權值所產生的哈夫曼樹的問題。利用哈夫曼樹來設計二進制的前綴編碼，既滿足前綴編碼的條件，又保證報文編碼總長最短。

若沒有一個編碼是另一個編碼的前綴，則稱這樣的編碼為前綴編碼。

通過前綴編碼解碼，可以辨識出第一個編碼，并將編碼翻譯為源原碼。

例如：00101100，可以唯一被解讀為：0、0、101、100

下面舉個例子

a：01

b：10

c：110

d：111

e：00

通過上面的例子可以看出，對于每個葉子結點上的值都有唯一的編碼

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构-树】4.图解平衡二叉树和哈夫曼编码(逐步演绎，一文读懂)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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