AVL树(二)之 C++的实现
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概要
上一章通過C語言實現(xiàn)了AVL樹，本章將介紹AVL樹的C++版本，算法與C語言版本的一樣。
目錄
1.?AVL樹的介紹
2.?AVL樹的C++實現(xiàn)
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更多內(nèi)容:?數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法系列 目錄?
(01)?AVL樹(一)之 圖文解析 和 C語言的實現(xiàn)
(02)?AVL樹(二)之 C++的實現(xiàn)
(03)?AVL樹(三)之 Java的實現(xiàn)
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AVL樹的介紹
AVL樹是高度平衡的而二叉樹。它的特點是：AVL樹中任何節(jié)點的兩個子樹的高度最大差別為1。?
上面的兩張圖片，左邊的是AVL樹，它的任何節(jié)點的兩個子樹的高度差別都<=1；而右邊的不是AVL樹，因為7的兩顆子樹的高度相差為2(以2為根節(jié)點的樹的高度是3，而以8為根節(jié)點的樹的高度是1)。
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AVL樹的C++實現(xiàn)
1. 節(jié)點
1.1 AVL樹節(jié)點
template <class T> class AVLTreeNode{public:T key; // 關(guān)鍵字(鍵值)int height; // 高度AVLTreeNode *left; // 左孩子AVLTreeNode *right; // 右孩子 AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):key(value), height(0),left(l),right(r) {} };AVLTreeNode是AVL樹的節(jié)點類，它包括的幾個組成對象:
(01) key -- 是關(guān)鍵字，是用來對AVL樹的節(jié)點進行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。
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1.2 AVL樹
template <class T> class AVLTree {private:AVLTreeNode<T> *mRoot; // 根結(jié)點public:AVLTree();~AVLTree();// 獲取樹的高度int height();// 獲取樹的高度int max(int a, int b);// 前序遍歷"AVL樹"void preOrder();// 中序遍歷"AVL樹"void inOrder();// 后序遍歷"AVL樹"void postOrder();// (遞歸實現(xiàn))查找"AVL樹"中鍵值為key的節(jié)點AVLTreeNode<T>* search(T key);// (非遞歸實現(xiàn))查找"AVL樹"中鍵值為key的節(jié)點AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);// 查找最小結(jié)點：返回最小結(jié)點的鍵值。 T minimum();// 查找最大結(jié)點：返回最大結(jié)點的鍵值。 T maximum();// 將結(jié)點(key為節(jié)點鍵值)插入到AVL樹中void insert(T key);// 刪除結(jié)點(key為節(jié)點鍵值)void remove(T key);// 銷毀AVL樹void destroy();// 打印AVL樹void print();private:// 獲取樹的高度int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;// 前序遍歷"AVL樹"void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;// 中序遍歷"AVL樹"void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;// 后序遍歷"AVL樹"void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;// (遞歸實現(xiàn))查找"AVL樹x"中鍵值為key的節(jié)點AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;// (非遞歸實現(xiàn))查找"AVL樹x"中鍵值為key的節(jié)點AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;// 查找最小結(jié)點：返回tree為根結(jié)點的AVL樹的最小結(jié)點。AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);// 查找最大結(jié)點：返回tree為根結(jié)點的AVL樹的最大結(jié)點。AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);// LL：左左對應(yīng)的情況(左單旋轉(zhuǎn))。AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);// RR：右右對應(yīng)的情況(右單旋轉(zhuǎn))。AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);// LR：左右對應(yīng)的情況(左雙旋轉(zhuǎn))。AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);// RL：右左對應(yīng)的情況(右雙旋轉(zhuǎn))。AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);// 將結(jié)點(z)插入到AVL樹(tree)中AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);// 刪除AVL樹(tree)中的結(jié)點(z)，并返回被刪除的結(jié)點AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);// 銷毀AVL樹void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);// 打印AVL樹void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction); };AVLTree是AVL樹對應(yīng)的類。它包含AVL樹的根節(jié)點mRoot和AVL樹的基本操作接口。需要說明的是：AVLTree中重載了許多函數(shù)。重載的目的是區(qū)分內(nèi)部接口和外部接口，例如insert()函數(shù)而言，insert(tree, key)是內(nèi)部接口，而insert(key)是外部接口。
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1.2 樹的高度
/** 獲取樹的高度*/ template <class T> int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) {if (tree != NULL)return tree->height;return 0; }template <class T> int AVLTree<T>::height() {return height(mRoot); }關(guān)于高度，有的地方將"空二叉樹的高度是-1"，而本文采用維基百科上的定義：樹的高度為最大層次。即空的二叉樹的高度是0，非空樹的高度等于它的最大層次(根的層次為1，根的子節(jié)點為第2層，依次類推)。
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1.3 比較大小
/** 比較兩個值的大小*/ template <class T> int AVLTree<T>::max(int a, int b) {return a>b ? a : b; }?
2. 旋轉(zhuǎn)
如果在AVL樹中進行插入或刪除節(jié)點后，可能導(dǎo)致AVL樹失去平衡。這種失去平衡的可以概括為4種姿態(tài)：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面給出它們的示意圖：
上圖中的4棵樹都是"失去平衡的AVL樹"，從左往右的情況依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情況之外，還有其它的失去平衡的AVL樹，如下圖：
上面的兩張圖都是為了便于理解，而列舉的關(guān)于"失去平衡的AVL樹"的例子。總的來說，AVL樹失去平衡時的情況一定是LL、LR、RL、RR這4種之一，它們都由各自的定義：
(1)?LL：LeftLeft，也稱為"左左"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的左子樹的左子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。
? ? ?例如，在上面LL情況中，由于"根節(jié)點(8)的左子樹(4)的左子樹(2)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的右子樹(12)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的左子樹(4)高度"比"根節(jié)點(8)的右子樹(12)"高2。
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(2)?LR：LeftRight，也稱為"左右"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的左子樹的右子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。
? ? ?例如，在上面LR情況中，由于"根節(jié)點(8)的左子樹(4)的左子樹(6)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的右子樹(12)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的左子樹(4)高度"比"根節(jié)點(8)的右子樹(12)"高2。
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(3)?RL：RightLeft，稱為"右左"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的右子樹的左子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。
? ? ?例如，在上面RL情況中，由于"根節(jié)點(8)的右子樹(12)的左子樹(10)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的左子樹(4)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的右子樹(12)高度"比"根節(jié)點(8)的左子樹(4)"高2。
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(4)?RR：RightRight，稱為"右右"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的右子樹的右子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。
? ? ?例如，在上面RR情況中，由于"根節(jié)點(8)的右子樹(12)的右子樹(14)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的左子樹(4)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的右子樹(12)高度"比"根節(jié)點(8)的左子樹(4)"高2。
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前面說過，如果在AVL樹中進行插入或刪除節(jié)點后，可能導(dǎo)致AVL樹失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通過旋轉(zhuǎn)使其恢復(fù)平衡，下面分別介紹"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"這4種情況對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)方法。
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2.1 LL的旋轉(zhuǎn)
LL失去平衡的情況，可以通過一次旋轉(zhuǎn)讓AVL樹恢復(fù)平衡。如下圖：
圖中左邊是旋轉(zhuǎn)之前的樹，右邊是旋轉(zhuǎn)之后的樹。從中可以發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)之后的樹又變成了AVL樹，而且該旋轉(zhuǎn)只需要一次即可完成。
對于LL旋轉(zhuǎn)，你可以這樣理解為：LL旋轉(zhuǎn)是圍繞"失去平衡的AVL根節(jié)點"進行的，也就是節(jié)點k2；而且由于是LL情況，即左左情況，就用手抓著"左孩子，即k1"使勁搖。將k1變成根節(jié)點，k2變成k1的右子樹，"k1的右子樹"變成"k2的左子樹"。
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LL的旋轉(zhuǎn)代碼
/** LL：左左對應(yīng)的情況(左單旋轉(zhuǎn))。** 返回值：旋轉(zhuǎn)后的根節(jié)點*/ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2) {AVLTreeNode<T>* k1;k1 = k2->left;k2->left = k1->right;k1->right = k2;k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;return k1; }?
2.2 RR的旋轉(zhuǎn)
理解了LL之后，RR就相當(dāng)容易理解了。RR是與LL對稱的情況！RR恢復(fù)平衡的旋轉(zhuǎn)方法如下：
圖中左邊是旋轉(zhuǎn)之前的樹，右邊是旋轉(zhuǎn)之后的樹。RR旋轉(zhuǎn)也只需要一次即可完成。
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RR的旋轉(zhuǎn)代碼
/** RR：右右對應(yīng)的情況(右單旋轉(zhuǎn))。** 返回值：旋轉(zhuǎn)后的根節(jié)點*/ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1) {AVLTreeNode<T>* k2;k2 = k1->right;k1->right = k2->left;k2->left = k1;k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;return k2; }?
2.3 LR的旋轉(zhuǎn)
LR失去平衡的情況，需要經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)才能讓AVL樹恢復(fù)平衡。如下圖：
第一次旋轉(zhuǎn)是圍繞"k1"進行的"RR旋轉(zhuǎn)"，第二次是圍繞"k3"進行的"LL旋轉(zhuǎn)"。
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LR的旋轉(zhuǎn)代碼
/** LR：左右對應(yīng)的情況(左雙旋轉(zhuǎn))。** 返回值：旋轉(zhuǎn)后的根節(jié)點*/ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3) {k3->left = rightRightRotation(k3->left);return leftLeftRotation(k3); }?
2.4 RL的旋轉(zhuǎn)
RL是與LR的對稱情況！RL恢復(fù)平衡的旋轉(zhuǎn)方法如下：
第一次旋轉(zhuǎn)是圍繞"k3"進行的"LL旋轉(zhuǎn)"，第二次是圍繞"k1"進行的"RR旋轉(zhuǎn)"。
RL的旋轉(zhuǎn)代碼
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3. 插入
插入節(jié)點的代碼
/* * 將結(jié)點插入到AVL樹中，并返回根節(jié)點** 參數(shù)說明：* tree AVL樹的根結(jié)點* key 插入的結(jié)點的鍵值* 返回值：* 根節(jié)點*/ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key) {if (tree == NULL) {// 新建節(jié)點tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);if (tree==NULL){cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;return NULL;}}else if (key < tree->key) // 應(yīng)該將key插入到"tree的左子樹"的情況 {tree->left = insert(tree->left, key);// 插入節(jié)點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應(yīng)的調(diào)節(jié)。if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2){if (key < tree->left->key)tree = leftLeftRotation(tree);elsetree = leftRightRotation(tree);}}else if (key > tree->key) // 應(yīng)該將key插入到"tree的右子樹"的情況 {tree->right = insert(tree->right, key);// 插入節(jié)點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應(yīng)的調(diào)節(jié)。if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2){if (key > tree->right->key)tree = rightRightRotation(tree);elsetree = rightLeftRotation(tree);}}else //key == tree->key) {cout << "添加失敗：不允許添加相同的節(jié)點！" << endl;}tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;return tree; }template <class T> void AVLTree<T>::insert(T key) {insert(mRoot, key); }?
4. 刪除
刪除節(jié)點的代碼
/* * 刪除結(jié)點(z)，返回根節(jié)點** 參數(shù)說明：* tree AVL樹的根結(jié)點* z 待刪除的結(jié)點* 返回值：* 根節(jié)點*/ template <class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z) {// 根為空 或者 沒有要刪除的節(jié)點，直接返回NULL。if (tree==NULL || z==NULL)return NULL;if (z->key < tree->key) // 待刪除的節(jié)點在"tree的左子樹"中 {tree->left = remove(tree->left, z);// 刪除節(jié)點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應(yīng)的調(diào)節(jié)。if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2){AVLTreeNode<T> *r = tree->right;if (height(r->left) > height(r->right))tree = rightLeftRotation(tree);elsetree = rightRightRotation(tree);}}else if (z->key > tree->key)// 待刪除的節(jié)點在"tree的右子樹"中 {tree->right = remove(tree->right, z);// 刪除節(jié)點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應(yīng)的調(diào)節(jié)。if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2){AVLTreeNode<T> *l = tree->left;if (height(l->right) > height(l->left))tree = leftRightRotation(tree);elsetree = leftLeftRotation(tree);}}else // tree是對應(yīng)要刪除的節(jié)點。 {// tree的左右孩子都非空if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL)){if (height(tree->left) > height(tree->right)){// 如果tree的左子樹比右子樹高；// 則(01)找出tree的左子樹中的最大節(jié)點// (02)將該最大節(jié)點的值賦值給tree。// (03)刪除該最大節(jié)點。// 這類似于用"tree的左子樹中最大節(jié)點"做"tree"的替身；// 采用這種方式的好處是：刪除"tree的左子樹中最大節(jié)點"之后，AVL樹仍然是平衡的。AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);tree->key = max->key;tree->left = remove(tree->left, max);}else{// 如果tree的左子樹不比右子樹高(即它們相等，或右子樹比左子樹高1)// 則(01)找出tree的右子樹中的最小節(jié)點// (02)將該最小節(jié)點的值賦值給tree。// (03)刪除該最小節(jié)點。// 這類似于用"tree的右子樹中最小節(jié)點"做"tree"的替身；// 采用這種方式的好處是：刪除"tree的右子樹中最小節(jié)點"之后，AVL樹仍然是平衡的。AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);tree->key = min->key;tree->right = remove(tree->right, min);}}else{AVLTreeNode<T>* tmp = tree;tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;delete tmp;}}return tree; }template <class T> void AVLTree<T>::remove(T key) {AVLTreeNode<T>* z; if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)mRoot = remove(mRoot, z); }?
注意：關(guān)于AVL樹的"前序遍歷"、"中序遍歷"、"后序遍歷"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"銷毀"等接口與"二叉查找樹"基本一樣，這些操作在"二叉查找樹"中已經(jīng)介紹過了，這里就不再單獨介紹了。當(dāng)然，后文給出的AVL樹的完整源碼中，有給出這些API的實現(xiàn)代碼。這些接口很簡單，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
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完整的實現(xiàn)代碼
AVL樹的實現(xiàn)文件(AVRTree.h)
?View CodeAVL樹的測試程序(AVLTreeTest.cpp)
?View Code?
AVL樹的C++測試程序
AVL樹的測試程序代碼(AVLTreeTest.cpp)在前面已經(jīng)給出。在測試程序中，首先新建一棵AVL樹，然后依次添加"3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9" 到AVL樹中；添加完畢之后，再將8從AVL樹中刪除。AVL樹的添加和刪除過程如下圖：
(01) 添加3,2
添加3,2都不會破壞AVL樹的平衡性。
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(02) 添加1
添加1之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(LL旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(03) 添加4
添加4不會破壞AVL樹的平衡性。
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(04) 添加5
添加5之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(RR旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(05) 添加6
添加6之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(RR旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(06) 添加7
添加7之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(RR旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(07) 添加16
添加16不會破壞AVL樹的平衡性。
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(08) 添加15
添加15之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(RR旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(09) 添加14
添加14之后，AVL樹失去平衡(RL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(RL旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(10) 添加13
添加13之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(RR旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(11) 添加12
添加12之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(LL旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(12) 添加11
添加11之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(LL旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(13) 添加10
添加10之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(LL旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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(14) 添加8
添加8不會破壞AVL樹的平衡性。
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(15) 添加9
但是添加9之后，AVL樹失去平衡(LR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(zhuǎn)(LR旋轉(zhuǎn))。旋轉(zhuǎn)過程如下：
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添加完所有數(shù)據(jù)之后，得到的AVL樹如下：
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接著，刪除節(jié)點8.刪除節(jié)點8并不會造成AVL樹的不平衡，所以不需要旋轉(zhuǎn)，操作示意圖如下：
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程序運行結(jié)果如下：
== 依次添加: 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9 == 前序遍歷: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 == 中序遍歷: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 == 后序遍歷: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7 == 高度: 5 == 最小值: 1 == 最大值: 16 == 樹的詳細信息: is root is 7's left child is 4's left child is 2's left child is 2's right child is 4's right child is 6's left child is 7's right child is 13's left child is 11's left child is 9's left child is 9's right child is 11's right child is 13's right child is 15's left child is 15's right child== 刪除根節(jié)點: 8 == 高度: 5 == 中序遍歷: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 == 樹的詳細信息: is root is 7's left child is 4's left child is 2's left child is 2's right child is 4's right child is 6's left child is 7's right child is 13's left child is 11's left child is 9's right child is 11's right child is 13's right child is 15's left child is 15's right child總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的AVL树(二)之 C++的实现的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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