第一節(jié) 射影幾何的提出

一、歷史背景

? 1566年，科曼迪諾(F．Commandino，1509—1575)把阿波羅尼奧斯(Apollonius)的《圓錐曲線論》(Conics)前四卷譯成拉丁文，引起了人們對幾何的興趣，幾何上的創(chuàng)造活動開始復(fù)興．在短短幾十年的時間里，便突破傳統(tǒng)幾何的局限，產(chǎn)生了一門嶄新的學(xué)科——射影幾何．由于新學(xué)科把無窮遠點及圖形連續(xù)變動的思想引入數(shù)學(xué)，它實際上已邁入高等數(shù)學(xué)的門檻．

? 射影幾何直接起源于透視法，而透視法是與繪畫藝術(shù)分不開的．在中世紀，畫家的主要任務(wù)是頌揚上帝和為圣經(jīng)插圖．但到了文藝復(fù)興時期，描繪現(xiàn)實世界逐漸成為繪畫的目標(biāo)了．為了在畫布上忠實地再現(xiàn)大自然，就需要解決一個數(shù)學(xué)問題：如何把三維的現(xiàn)實世界反映到二維的畫布上．意大利的建筑師兼數(shù)學(xué)家阿爾貝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)認真考慮了這一問題．他在1435年寫成的《論繪畫》(Dellapittura，1511年出版)一書中闡述了這樣的思想：在眼睛和景物之間插進一張直立的玻璃板，并設(shè)想光線從眼睛出發(fā)射到景物的每一個點上，這些線叫投影線．他設(shè)想每根線與玻璃板交于一點，這些點的集合叫做截景．顯然，截景給眼睛的印象和景物本身一樣，所以作畫逼真的問題就是在玻璃板(實際是畫布)上作出一個真正的截景．

? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖1 常見的典型繪畫角度?

? ?二、中心射影的直觀理解?

如上圖所描述的鐵路圖形，顯然，無論雙軌還是路基，還是樹木，最終大家都匯交于，無限遠的一個中心點。?這就引出一個射影交點的抽象。如下圖所描述：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2? 對鐵路景物的三維射影投射

在圖2中，假定軌道是L1和L2的直線，這兩直線平行且在地平面P1內(nèi)。P2是畫布所在平面，P2垂直于P1平面。S是視點，也就是眼睛所在點，V是無限遠點在畫布的投影，W是無限遠點，顯然S-V-W三點共線。且大地上景物的任意一個點，都可以與視點S連線，這個連線將交P2平面于某一個點。P1上點和P2上點構(gòu)成一一對應(yīng)。下面，就任意移動S點，和任意改變P1和P2的夾角，所構(gòu)成的一般原理。

第二節(jié) 中心射影基本概念

一、定義在平面上的中心射影

我們暫時不談三維空間的射影問題，先談二維平面上，線與線存在的射影問題，然后將其推廣到三維的情形。

定義：設(shè)ξ,η是共面的兩相異直線,O是兩直線外一點.對于直線ξ上任一點A,設(shè)A′是直線OA與η的交點,則由AA′定義的直線ξ上點與η上點的對應(yīng)叫直線中心射影,簡稱為中心射影,O是射影中心.

因此，這個映射的要點如下：

當(dāng)?ξ,η平行的時候，ξ,η上的射影構(gòu)成一一對應(yīng)。

射影中心是O，對應(yīng)圖2中的S點，即視點，這是極其重要的點。

當(dāng)ξ,η相交的時候，存在不動點D，是兩射影點重合。

當(dāng)ξ,η相交的時候，Q點是η上的點，對應(yīng)ξ上的無窮遠點，P點是ξ上的點，對應(yīng)η上的無窮遠點。

二、平行直線相交于無限遠的證明

說起平行線相交于無窮遠點，不是概念灌輸，而是實實在在的邏輯需求，而且這個原理相當(dāng)有用。下面證明這種提法的邏輯性。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖3? 用集合證明平行線交于無窮遠點

證明兩個集合A和B相等的基本方法，就是從A中找一個元素，在B中也有一個元素與之對應(yīng)。反之，從B中任找一個元素，A中總有對應(yīng)的元素。舉個現(xiàn)實例子，就是一車蘋果和一車梨，要回答蘋果多，還是梨多，你不必去數(shù)它們，而是從蘋果車取一個蘋果拋掉，也從梨車取個梨拋掉，最后

哪個車水果先空，就是哪個車水果少。如果兩車同時為空，就是兩個集合（車）相等。好了，解釋圖3：

圖三中，有兩條線【Ln，Lp】和【Mn，Mp】，將線【Ln，Lp】假定為有向直線，Ln是negentive負向最遠點，Lp是positive正向最遠點；將線【Mn，Mp】假定為有向直線，Mn是negentive負向最遠點，Mp是positive正向最遠點；兩線交于D點，O是兩線外的射影點；OC平行于【Ln，Lp】，OB平行于【Mn，Mp】。

因此直線【Ln，Lp】可以表述成三個集合：【Ln，D】，【D，B】，【B，Lp】

直線【Mn，Mp】可以表述成三個集合：【Mn，C】，【C，D】，【D，Mp】

U1是【Ln，D】上任意點，在O的映射下，U1的映射點是【Mn，Mp】線上的U2；當(dāng)U1無限靠近Ln時，U2無限靠近C點；因此，【Ln，D】集合與【C，D】集合形成一一對應(yīng)。

V1是【D，B】上任意點，在O的映射下，V1的映射點是【Mn，Mp】線上的V2；當(dāng)V1無限靠近B時，映射點V2無限靠近Mp點；因此，【D，B】集合與【D，Mp】集合形成一一對應(yīng)。

W1是【B，Lp】上任意點，在O的映射下，W1的映射點是【Mn，Mp】線上的W2；當(dāng)W1無限靠近Lp時，W2無限靠近C點；因此，【B，Lp】集合與【Mn，C】集合形成一一對應(yīng)。

綜合以上，得到兩個結(jié)論

正負無限遠點是集合上的一個元素，Ln和Lp重合,Mn和Mp重合，也就是說，在中心射影的立場上直線實際上是一個無限遠閉合的環(huán)。

B點映射到Mp，因此O-B-Mp三點共線（平行線在無限遠相交）

Ln點映射到C，因此O-C-Ln三點共線（平行線在無限遠相交）

兩條直線上的中心射影點一一對應(yīng)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的射影几何教程： 1 射影几何介绍的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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