1?范數(shù)（norm）&距離

?1.1 p范數(shù)通項(xiàng)?

2 點(diǎn)積&正交

2.1 點(diǎn)積性質(zhì)?

?2.2 勾股定理（pythagorean theorem）

2.3 菱形的兩條對(duì)角線正交?

?3 正交補(bǔ)

向量集S的正交補(bǔ)是一組向量，這組向量垂直于S中的任意一個(gè)向量

?3.1 正交補(bǔ)性質(zhì)

1）??正交補(bǔ)是一個(gè)子空間

利用定義i證明，滿足加法和數(shù)乘封閉

2）對(duì)于任何一個(gè)非空向量集S，S張成的子空間的正交補(bǔ)和S的正交補(bǔ)相同

3）如果W是一個(gè)子空間，B是W的一組基，那么B的正交補(bǔ)和W的正交補(bǔ)相同

4）S和S的正交補(bǔ)的交集是零向量

5）

舉個(gè)例子

?

?6）

?4 正交投影

4.1 正交投影定義

?4.2?正交投影是一個(gè)線性操作

4.3 一條線的正交投影?

?4.4?一個(gè)子空間的正交投影

?

?????????因?yàn)榫仃嘋的列空間組成了這個(gè)子空間的基，所以u(píng)-w和這些組成基的向量都垂直，也就是說(shuō)，C的每一列，也就是C的轉(zhuǎn)置中每一行都和（u-w）垂直，即????????

????????b相當(dāng)于基每個(gè)向量的系數(shù)，這些系數(shù)乘以對(duì)應(yīng)的基向量，就組成了投影

證明可逆?——>那么也就是要說(shuō)明b=0，只有零解b=0

舉個(gè)例子

?5 正交基

5.1 正交系

這是一個(gè)很直觀的結(jié)論，一組正交基兩兩正交，那么任意n個(gè)向量都不可能線性表出另外一個(gè)

證明如下

?5.2 標(biāo)準(zhǔn)正交系

（兩個(gè)英文單詞怎么區(qū)分呢？標(biāo)準(zhǔn)正交基的單詞更長(zhǎng)一點(diǎn)，說(shuō)明它相比于正交基，多了歸一化這一步操作，步驟更長(zhǎng)，所以單詞的長(zhǎng)度也更長(zhǎng)）

每一組向量中每一個(gè)的的長(zhǎng)度為1

5. 3?（標(biāo)準(zhǔn)）正交基

?6 正交分解理論

?例子（dot是對(duì)應(yīng)位置相乘）

?7 施密特正交化

將一組基轉(zhuǎn)換成一組正交基

不斷地對(duì)已經(jīng)變成正交基的部分做投影，把投影的部分減去，結(jié)果就是正交基

?

8?正交矩陣?

8.1?norm-preserving

?這兩個(gè)例子都是norm-preserving的

8.2?正交矩陣

列組成一組正交基

注意！正交矩陣，他的列是標(biāo)準(zhǔn)正交基！！

?如果一個(gè)操作是norm-preserving的，那么它對(duì)應(yīng)的矩陣是正交矩陣

證明正交矩陣無(wú)非是要證明兩件事

1）

?2）

?8.2.1?正交矩陣自身的幾個(gè)等價(jià)性質(zhì)

?1->2：

2->3 易證

3->4 （保持點(diǎn)乘）

4->5 令v=u

?8.2.2?正交矩陣之間的幾個(gè)性質(zhì)

?

?

?

?結(jié)論4易見?

?

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的李宏毅线性代数11： 正交（Orthogonality）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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