1?范數（norm）&距離

?1.1 p范數通項?

2 點積&正交

2.1 點積性質?

?2.2 勾股定理（pythagorean theorem）

2.3 菱形的兩條對角線正交?

?3 正交補

向量集S的正交補是一組向量，這組向量垂直于S中的任意一個向量

?3.1 正交補性質

1）??正交補是一個子空間

利用定義i證明，滿足加法和數乘封閉

2）對于任何一個非空向量集S，S張成的子空間的正交補和S的正交補相同

3）如果W是一個子空間，B是W的一組基，那么B的正交補和W的正交補相同

4）S和S的正交補的交集是零向量

5）

舉個例子

?

?6）

?4 正交投影

4.1 正交投影定義

?4.2?正交投影是一個線性操作

4.3 一條線的正交投影?

?4.4?一個子空間的正交投影

?

?????????因為矩陣C的列空間組成了這個子空間的基，所以u-w和這些組成基的向量都垂直，也就是說，C的每一列，也就是C的轉置中每一行都和（u-w）垂直，即????????

????????b相當于基每個向量的系數，這些系數乘以對應的基向量，就組成了投影

證明可逆?——>那么也就是要說明b=0，只有零解b=0

舉個例子

?5 正交基

5.1 正交系

這是一個很直觀的結論，一組正交基兩兩正交，那么任意n個向量都不可能線性表出另外一個

證明如下

?5.2 標準正交系

（兩個英文單詞怎么區分呢？標準正交基的單詞更長一點，說明它相比于正交基，多了歸一化這一步操作，步驟更長，所以單詞的長度也更長）

每一組向量中每一個的的長度為1

5. 3?（標準）正交基

?6 正交分解理論

?例子（dot是對應位置相乘）

?7 施密特正交化

將一組基轉換成一組正交基

不斷地對已經變成正交基的部分做投影，把投影的部分減去，結果就是正交基

?

8?正交矩陣?

8.1?norm-preserving

?這兩個例子都是norm-preserving的

8.2?正交矩陣

列組成一組正交基

注意！正交矩陣，他的列是標準正交基！！

?如果一個操作是norm-preserving的，那么它對應的矩陣是正交矩陣

證明正交矩陣無非是要證明兩件事

1）

?2）

?8.2.1?正交矩陣自身的幾個等價性質

?1->2：

2->3 易證

3->4 （保持點乘）

4->5 令v=u

?8.2.2?正交矩陣之間的幾個性質

?

?

?

?結論4易見?

?

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李宏毅线性代数11： 正交（Orthogonality）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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