李宏毅线性代数11： 正交（Orthogonality）
1?范數(shù)（norm）&距離
?1.1 p范數(shù)通項(xiàng)?
2 點(diǎn)積&正交
2.1 點(diǎn)積性質(zhì)?
?2.2 勾股定理（pythagorean theorem）
2.3 菱形的兩條對(duì)角線正交?
?3 正交補(bǔ)
向量集S的正交補(bǔ)是一組向量，這組向量垂直于S中的任意一個(gè)向量
?3.1 正交補(bǔ)性質(zhì)
1）??正交補(bǔ)是一個(gè)子空間
利用定義i證明，滿足加法和數(shù)乘封閉
2）對(duì)于任何一個(gè)非空向量集S，S張成的子空間的正交補(bǔ)和S的正交補(bǔ)相同
3）如果W是一個(gè)子空間，B是W的一組基，那么B的正交補(bǔ)和W的正交補(bǔ)相同
4）S和S的正交補(bǔ)的交集是零向量
5）
舉個(gè)例子
?
?6）
?4 正交投影
4.1 正交投影定義
?4.2?正交投影是一個(gè)線性操作
4.3 一條線的正交投影?
?4.4?一個(gè)子空間的正交投影
?
?????????因?yàn)榫仃嘋的列空間組成了這個(gè)子空間的基，所以u(píng)-w和這些組成基的向量都垂直，也就是說(shuō)，C的每一列，也就是C的轉(zhuǎn)置中每一行都和（u-w）垂直，即????????
????????b相當(dāng)于基每個(gè)向量的系數(shù)，這些系數(shù)乘以對(duì)應(yīng)的基向量，就組成了投影
證明可逆?——>那么也就是要說(shuō)明b=0，只有零解b=0
舉個(gè)例子
?5 正交基
5.1 正交系
這是一個(gè)很直觀的結(jié)論，一組正交基兩兩正交，那么任意n個(gè)向量都不可能線性表出另外一個(gè)
證明如下
?5.2 標(biāo)準(zhǔn)正交系
（兩個(gè)英文單詞怎么區(qū)分呢？標(biāo)準(zhǔn)正交基的單詞更長(zhǎng)一點(diǎn)，說(shuō)明它相比于正交基，多了歸一化這一步操作，步驟更長(zhǎng)，所以單詞的長(zhǎng)度也更長(zhǎng)）
每一組向量中每一個(gè)的的長(zhǎng)度為1
5. 3?（標(biāo)準(zhǔn)）正交基
?6 正交分解理論
?例子（dot是對(duì)應(yīng)位置相乘）
?7 施密特正交化
將一組基轉(zhuǎn)換成一組正交基
不斷地對(duì)已經(jīng)變成正交基的部分做投影，把投影的部分減去，結(jié)果就是正交基
?
8?正交矩陣?
8.1?norm-preserving
?這兩個(gè)例子都是norm-preserving的
8.2?正交矩陣
列組成一組正交基
注意！正交矩陣，他的列是標(biāo)準(zhǔn)正交基！！
?如果一個(gè)操作是norm-preserving的，那么它對(duì)應(yīng)的矩陣是正交矩陣
證明正交矩陣無(wú)非是要證明兩件事
1）
?2）
?8.2.1?正交矩陣自身的幾個(gè)等價(jià)性質(zhì)
?1->2：
2->3 易證
3->4 （保持點(diǎn)乘）
4->5 令v=u
?8.2.2?正交矩陣之間的幾個(gè)性質(zhì)
?
?
?
?結(jié)論4易見?
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?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的李宏毅线性代数11： 正交（Orthogonality）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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