文章目錄

• • • 題目分析
    • 題目鏈接

題目分析

來源：acwing
分析：

差分約束系統

差分約束系統是一種特殊的N元一次不等式組。它包含N個變量$X_1,...,X_n$ 以及M個約束條件，每個約束條件都是由兩個變量作差構成的，形如$X_i?X_j\le c_k$,其中$c_k$是常數，我們要解決的問題是：求得一組X的解，值得所有約束條件都得到滿足。

對約束條件$X_i?X_j\le c_k$進行變形，就可以得到$X_i\le X_j+c_k$,這與單源最短路徑問題中的三角不等式$dist[y]\le dist[x]+z$很相似。因此，可以把每個變量$X_i$看作有向圖中的一個結點i，對于每個約束條件$X_i?X_j\le c_k$，從結點j向結點i連一條長度為$c_k$的有向邊。

所以說，每個差分約束問題可以轉換為圖論的單源最短路問題。

單源最短路徑中源點需要滿足的條件：
從源點出發，必須可以遍歷到所有的邊。因為只有這樣才能滿足上述的三角不等式。

求解步驟：

先將每個不等式$X_i\le X_j+c_k$，轉換為一條從xj到xi，長度為$c_k$的有向邊。

找到一個超級源點，該源點一定可以遍歷到所有邊。

從源點求一遍單源最短路。
如果存在負環，則原不等式組一定無解。
如果無負環，則dist[]數組就是原不等式組的一個可行解。

對應到本題。

求的是最小值，要用最長路。

ac代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL;const int N = 100100, M = 300010; int n, m; int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx; LL dist[N]; int q[N], cnt[N]; // 用來求正環 bool st[N];void add(int a, int b, int c){e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++; }bool spfa(){int hh = 0, tt = 1;memset(dist, -0x3f, sizeof dist);dist[0] = 0; // 0號點是超級源點q[0] = 0;st[0] = true;while(hh != tt){int t = q[ -- tt]; // 用棧優化st[t] = false;for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] < dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];cnt[j] = cnt[t] + 1;if(cnt[j] >= n + 1) return false;if(!st[j]){q[tt ++] = j;st[j] = true;}}}}return true; }int main(){memset(h, -1, sizeof h);cin >> n >> m;if(m == 0){cout << n << endl;return 0;}for(int i = 1; i <= n; i ++) add(0, i, 1);while( m --){int x, a, b;cin >> x >> a >> b;if( x == 1) add(b, a, 0), add(a, b, 0);else if(x == 2) add(a, b, 1);else if( x == 3) add(b, a, 0);else if( x == 4) add(b, a , 1);else add(a, b, 0);}if(!spfa()) puts("-1");else{LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++) res += dist[i];cout << res << endl;} }

題目鏈接

https://www.acwing.com/problem/content/1171/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法提高课-图论-差分约束- AcWing 1169. 糖果：spfa求单源最短路、差分约束的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。