推導過程

由前面的分析可知，信號的周期越大，在頻域上離散的信號就越來越密，當信號的周期趨近于無窮大的時候，離散信號就趨近于連續信號（T趨于無窮大的時候譜線高度的降低，在這里沒有體現出來）

如圖所示，當周期趨于零的時候w1也趨于零。離散的間隔逐漸減小。此時頻譜的幅度也是趨于零的，為了方便分析。我們對公式進行一些變換，作出一個比值關系（之前的無窮乘零無法算）。定義新的F（w）稱為頻譜密度。即是單位頻譜范圍內譜線的多少，以后我們都稱之為頻譜函數。

與傅里葉變換類似，我們給出傅里葉反變換的推導過程

我出門現在來看一下傅里葉變換的性質，對于F(-w)而言，它實際上相當于對e?jwt取了一個共軛，如果想要把共軛符號提到積分號的外面，需要對積分內的所有函數都取共軛才可以實現。又因為系統本身是實函數的條件，因此f（t）取共軛和不取共軛都是一樣的。所以積分內又得到了F（w），積分外有一個共軛

由此，我們得到了共軛對稱性

對稱性分析

我們講解傅里葉變換的對稱性有什么用呢？其中一種最基本的用法就是簡化對一些信號的求解，我們舉一個例子

如圖所示，比起直接計算，我們利用對稱性可以更容易得到十分優美的結果

以后的學中我們還會多次用到傅里葉變換的對稱性

有沒有一個信號可以只經過一次傅里葉變換，就可以得到自身函數形式相同的頻譜呢？（和自身之相差一個常量）。如果存在的話，這個函數，就是傅里葉變換的特征函數。對應的常數就是改變換對應的特征值

還記得我們在典型信號中所學到的特征函數嗎？我們舉幾個例子

變換存在條件

如圖所示，對于這樣的限制條件。顯然像是單位階躍信號等這樣的常用信號是無法進行傅里葉變換的，這將大大限制傅里葉變換的使用。為此我們需要一種新的定義

如圖所示，這樣我們就根據廣義傅里葉變換求出了這個問題，具體證明過程我們不再討論，另外這個結論我們根據傅里葉變換的對稱性也可以得到

練習題

如圖所示，此處的cos（2t）顯然w=2，沒有w=0的分量。所以頻譜中沒有w=0所對應的分量

一道值得注意的練習題

關于這道題我們關于頻域的計算最好將t當做一個常量。頻域計算不要將時間分開，最好將時間看成是靜止的，因此不要將積分割裂開來討論。算積分可以分為小于零和大于零進行考慮。但是最后積分的結果要進行疊加。如下圖所示的計算時錯誤的，應該這樣算

這道題我不會

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第三章：3.5 傅里叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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