推導(dǎo)過(guò)程

由前面的分析可知，信號(hào)的周期越大，在頻域上離散的信號(hào)就越來(lái)越密，當(dāng)信號(hào)的周期趨近于無(wú)窮大的時(shí)候，離散信號(hào)就趨近于連續(xù)信號(hào)（T趨于無(wú)窮大的時(shí)候譜線高度的降低，在這里沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái)）

如圖所示，當(dāng)周期趨于零的時(shí)候w1也趨于零。離散的間隔逐漸減小。此時(shí)頻譜的幅度也是趨于零的，為了方便分析。我們對(duì)公式進(jìn)行一些變換，作出一個(gè)比值關(guān)系（之前的無(wú)窮乘零無(wú)法算）。定義新的F（w）稱為頻譜密度。即是單位頻譜范圍內(nèi)譜線的多少，以后我們都稱之為頻譜函數(shù)。

與傅里葉變換類似，我們給出傅里葉反變換的推導(dǎo)過(guò)程

我出門現(xiàn)在來(lái)看一下傅里葉變換的性質(zhì)，對(duì)于F(-w)而言，它實(shí)際上相當(dāng)于對(duì)e?jwt取了一個(gè)共軛，如果想要把共軛符號(hào)提到積分號(hào)的外面，需要對(duì)積分內(nèi)的所有函數(shù)都取共軛才可以實(shí)現(xiàn)。又因?yàn)橄到y(tǒng)本身是實(shí)函數(shù)的條件，因此f（t）取共軛和不取共軛都是一樣的。所以積分內(nèi)又得到了F（w），積分外有一個(gè)共軛

由此，我們得到了共軛對(duì)稱性

對(duì)稱性分析

我們講解傅里葉變換的對(duì)稱性有什么用呢？其中一種最基本的用法就是簡(jiǎn)化對(duì)一些信號(hào)的求解，我們舉一個(gè)例子

如圖所示，比起直接計(jì)算，我們利用對(duì)稱性可以更容易得到十分優(yōu)美的結(jié)果

以后的學(xué)中我們還會(huì)多次用到傅里葉變換的對(duì)稱性

有沒(méi)有一個(gè)信號(hào)可以只經(jīng)過(guò)一次傅里葉變換，就可以得到自身函數(shù)形式相同的頻譜呢？（和自身之相差一個(gè)常量）。如果存在的話，這個(gè)函數(shù)，就是傅里葉變換的特征函數(shù)。對(duì)應(yīng)的常數(shù)就是改變換對(duì)應(yīng)的特征值

還記得我們?cè)诘湫托盘?hào)中所學(xué)到的特征函數(shù)嗎？我們舉幾個(gè)例子

變換存在條件

如圖所示，對(duì)于這樣的限制條件。顯然像是單位階躍信號(hào)等這樣的常用信號(hào)是無(wú)法進(jìn)行傅里葉變換的，這將大大限制傅里葉變換的使用。為此我們需要一種新的定義

如圖所示，這樣我們就根據(jù)廣義傅里葉變換求出了這個(gè)問(wèn)題，具體證明過(guò)程我們不再討論，另外這個(gè)結(jié)論我們根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性也可以得到

練習(xí)題

如圖所示，此處的cos（2t）顯然w=2，沒(méi)有w=0的分量。所以頻譜中沒(méi)有w=0所對(duì)應(yīng)的分量

一道值得注意的練習(xí)題

關(guān)于這道題我們關(guān)于頻域的計(jì)算最好將t當(dāng)做一個(gè)常量。頻域計(jì)算不要將時(shí)間分開(kāi)，最好將時(shí)間看成是靜止的，因此不要將積分割裂開(kāi)來(lái)討論。算積分可以分為小于零和大于零進(jìn)行考慮。但是最后積分的結(jié)果要進(jìn)行疊加。如下圖所示的計(jì)算時(shí)錯(cuò)誤的，應(yīng)該這樣算

這道題我不會(huì)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第三章：3.5 傅里叶变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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