文章目錄

• 一、關系的定義域、值域、域
• 二、關系的定義域、值域、域 示例
• 三、關系的逆運算
• 四、關系的逆序合成運算
• 五、關系的限制
• 六、關系的象
• 七、單根
• 八、單值
• 九、合成運算的性質

一、關系的定義域、值域、域

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$R$ 是一個任意集合

定義域 ( Domain ) : $domR=\{x|?y(xRy)\}$

存在 $y$ , $x$ 與 $y$ 有 $R$ 關系 , $R$ 關系是一個集合 , 集合中的元素是有序對 , $xRy$ 是 $<x,y>$ 有序對 ;

$R$ 中的有序對 , 第一個元素是 $x$ , 第二個元素是 $y$ , 那么可以將該 $x$ 放入定義域中 ;

$R$ 關系中所有的有序對的第一個元素拿出 , 構成一個定義域 ;

值域 ( Range ) : $ranR=\{y|?y(xRy)\}$

$R$ 關系中所有的有序對的第一個元素拿出 , 構成值域 ;

域 ( Field ) : $fldR=domR\cup ranR$

域 是 定義域 和 值域的并集 ;

二、關系的定義域、值域、域 示例

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1. $R_1=\{a,b\}$

$R_1$ 中沒有有序對 , 因此其 定義域 , 值域為空 , 進而其 域 也為空 ;

$dom{R}_1=?$

$ran{R}_1=?$

$fld{R}_1=?$

2. $R_2=\{a,b,<c,d>,<e,f>\}$

$dom{R}_2=\{c,e\}$

$ran{R}_2=\{d,f\}$

$fld{R}_2=\{c,d,e,f\}$

3. $R_3=\{<1,2>,<3,4>,<5,6>\}$

$dom{R}_3=\{1,3,5\}$

$ran{R}_3=\{2,4,6\}$

$fld{R}_3=\{1,2,3,4,5,6\}$

三、關系的逆運算

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任意集合 $F,G$ , 這里兩個集合是關系 , 集合中的元素是有序對

逆運算 ( Inverse ) :

$F^{?1}=\{<x,y>|yFx\}$

將 $F$ 關系中的所有有序對中的元素 , 前后調換方向 , 有序對中第一個元素變為第二個元素 , 第二個元素變為第一個元素 ;

如 : 將 $yFx$ , 是 $<y,x>$ 有序對 , 變成 $<x,y>$ 有序對 ;

四、關系的逆序合成運算

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逆序合成 ( Composite ) :

$FoG=\{<x,y>|?z(xGz\wedge zFy)\}$

如果 關系 $G$ 中有 $<x,z>$ 有序對 , 關系 $F$ 中有 $<z,y>$ 有序對 , 就可以得到一個新的有序對 $<x,y>$ , 該新的有序對在 關系 $F$ 和 關系 $G$ 的合成 運算結果中 ;

這種合成是 逆序合成 , 先用 $FoG$ 中的后面的 $G$ 關系的有序對 , 然后再用 前者 $F$ 中的有序對 ;

逆序合成 與之對應的是順序合成 , 一般情況下使用逆序合成 , 其性質使用方便 ;

五、關系的限制

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對于任意集合 $F,A$ , 可以定義

$F$ 集合在 $A$ 集合上的 限制 ( Restriction ) :

$F?A=\{<x,y>|xFy\wedge x\in A\}$

解析 :

$F$ 集合是一個關系 , 其元素是 有序對

$A$ 集合是普通集合 , 其元素就是單純的單個元素 ;

$F$ 集合中的 有序對 元素中 , 如果 有序對的 第一個元素 在 $A$ 集合中, 那么將這個有序對挑出來 , 放到一個新的集合中 , 這個新集合就稱為 $F$ 集合在 $A$ 集合上的 限制 , 記作 $F?A$ ;

上述 限制 ( Restriction ) 是限制 有序對中的第一個元素 ;

如果想要 限制第二個元素 , 將 $F$ 集合中的有序對中的 第二個元素屬于 $A$ 的集合的有序對挑出來 , 可以將 $F$ 關系進行逆運算 , 然后 求 $F^{?1}$ 的限制 ;

限制的結果仍然是一個關系 , 其集合中的元素是有序對 ;

六、關系的象

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對于任意集合 $F,A$ , 可以定義

$F$ 集合在 $A$ 集合上的 像 ( Image ) :

$F(A)=ran(F?A)$

即 , $F$ 在 $A$ 集合上的 限制 ( Restriction ) 的值域 ;

另一種表示方式 : $F[A]=\{y|?x(x\in A)\wedge xFy\}$

將 $F$ 中的 有序對 挑出來 , 然后挑出有序對中第一個元素在 $A$ 集合中的有序對 , 將上述 有序對的第二個元素挑出來 , 放入新的集合中 , 這個集合就 是 $F$ 在 $A$ 集合上的 像 ;

像 的結果不是一個關系 , 而是 符合特定要求的 有序對集合 中的有序對的第二個元素組成的集合 ;

七、單根

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任意集合 $F$ , 單根 ( Single Rooted ) 定義 :

$F$ 是單根的

$?$

$?y(y\in ranF\to ?!x(x\in domF\wedge xFy))$

$?$

$(?y\in ranF)(?!x\in domF)(xFy)$

任何一個 $y$ , $y$是有序對中的值域中的元素 , 有序對中與 $y$ 對應的值 $x$ 元素 , 即 $<x,y>$ 構成一個有序對 , 該 $x$ 存在并且唯一 ;

有序對 $<x,y>$ 中每個 $y$ 都對應著不同的 $x$

一些謂詞公式說明 :

$?!$ 表示 唯一存在 ;

$?x((x\in A\to B(x))$ 可以縮寫為 $(?x\in A)B(x)$

$?x(x\in A\wedge B(x))$ 可以縮寫為 $(?x\in A)B(x)$

八、單值

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任意集合 $F$ , 單值 ( Single Value ) 定義 :

$F$ 是單值的

$?$

$?x(x\in domF\to ?!y(y\in ranF\wedge xFy))$

$?$

$(?x\in domF)(?!y\in ranF)(xFy)$

任何一個 $x$ , $x$是有序對中的定義域域中的元素 , 有序對中與 $x$ 對應的值 $y$ 元素 , 即 $<x,y>$ 構成一個有序對 , 該 $y$ 存在并且唯一 ;

有序對 $<x,y>$ 中每個 $x$ 都對應著不同的 $y$

九、合成運算的性質

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$R_1,R_2,R_3$ 是三個集合 , 則有以下性質 :

$(R_{1}o{R}_2)o{R}_3=(R_{1}o(R_{2}o{R}_3))$

$F,G$ 是兩集合 , 有以下性質 :

$(FoG{)}^{?1}=G^{?1}o{F}^{?1}$

合成運算的逆 等于 兩個集合逆的合成 ;

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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