文章目錄

• 一、計算理論內容概覽
• 二、計算問題的 有效性
• 三、語言 與 算法模型
• 四、可計算性 與 可判定性
• 五、可判定性 與 有效性
• 六、語言分類

一、計算理論內容概覽

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計算理論分為 形式語言與自動機 , 可計算部分 , 計算復雜性部分 ;

形式語言與自動機 內容 : 自動機 , 確定性有限自動機 , 非確定性有限自動機 , 正則語言 , 泵引理 , 上下文無關語法 , 下推自動機 , 都屬于 形式語言 與 自動機 部分 ;

可計算 內容 : 圖靈機 , 確定性圖靈機 , 非確定性圖靈機 , 丘奇-圖靈命題 , 可判定性 , 可計算性 等問題 ;

計算復雜性 內容 : 時間復雜性 , 模型間的時間復雜性關系 , $\mathrm{P}$ 類 , $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 類 ;

二、計算問題的 有效性

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可計算性 包含 可判定性 , 可判定性 包含 有效性 ;

可計算性 > 可判定性 > 有效性 ;

計算問題 對應的算法中 , 有些算法是 有效的 , 有些算法是 無效的 ,

如 : 窮舉算法 , 蠻力搜索之類的算法 , 沒有有效性可言 , 肯定不是有效算法 ; 貪心算法 , 歐幾里得算法 是有效算法 ;

這里希望可以區分 有效算法 與 無效算法 ;

在上一篇博客 【計算理論】計算復雜性 ( 多項式等價 | P 類 | 丘奇-圖靈論題延伸 ) 中給出了有效算法的嚴格的數學定義 ;

有效算法 : 就是在 多項式時間 內 , 可以執行完畢 , 得到一個確定的結果的算法 ;

三、語言 與 算法模型

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語言 與 算法模型 :

① 正則語言 ( 自動機 ) : ${\mathrm{L}}_{\mathrm{r}}=\mathrm{L}({\mathrm{a}}^{?}{\mathrm{b}}^{?})$ , 該語言是正則表達式語言 ; $\mathrm{r}$ 下標含義是 regular 正則 ;

正則語言參考 : 【計算理論】正則語言 ( 正則表達式原子定義 | 正則表達式遞歸定義 | 正則表達式語言原子定義 | 正則表達式語言結構歸納 | 正則表達式語言示例 | 根據正則表達式構造自動機 )

② 上下文無關語言 ( 下推自動機 ) : ${\mathrm{L}}_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{L}}=\{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}:\mathrm{n}\ge 0\}$ , 該語言不是正則表達式語言 , 是上下文無關語言 ; 下標 $\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{L}$ 含義是 Context-Free Grammer , 上下文無關語法 ;

上下文無關語法參考 : 【計算理論】上下文無關語法 ( 語法組成 | 規則 | 語法 | 語法示例 | 約定的簡寫形式 | 語法分析樹 )

③ 可判定語言 ( 判定機 ) : ${\mathrm{L}}_{\mathrm{d}}=\{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{c}}^{\mathrm{n}}:\mathrm{n}\ge 0\}$ , 該語言不是上下文無關語言 , 是可判定語言 ; 下標 $\mathrm{d}$ 含義是 Decidability 可判定 ;

可判定語言參考 : 【計算理論】可判定性 ( 丘奇-圖靈論題 | 可判定性引入 | 圖靈機語言 | 圖靈機結果 | 判定機 | 部分函數與全部函數 | 可判定性定義 )

④ 可計算語言 ( 圖靈機 ) : ${\mathrm{L}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ , 該語言是可計算的 , 不是圖靈可判定的 ; 下標 $\mathrm{T}\mathrm{r}$ 含義是 Turing-recognizable ( 圖靈機可識別 ) 即可計算的 ;

⑤ 不可計算語言 ( 沒有對應算法模型 ) : ${\mathrm{L}}_{\mathrm{n}\mathrm{T}\mathrm{r}}={\overline{\mathrm{A}}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ , 圖靈機不識別語言 , 不可計算語言 ;

參考博客 : 【計算理論】可判定性 ( 通用圖靈機和停機問題 | 可判定性 與 可計算性 | 語言 與 算法模型 )

四、可計算性 與 可判定性

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可判定性 與 可計算性

① 可判定性 ( Decidability ) : 計算模型是 圖靈機中的 判定機 ;

② 可計算性 ( Turing-recognizable 圖靈機可接受的 ) : 計算模型是 圖靈機 ;

可計算性 包含 可判定性 ;

可計算性 與 可判定性 之間的相互關系 :

補集可計算 : 如果一個語言的 補集 ( Complement ) 是可計算的 ( Turing-recognizable ) , 那么稱該語言是 補集可計算的 ( co-Turing-recognizable ) ;

判定 = 可計算 + 補集可計算 : 如果一個語言是 可判定的 ( Decidable ) , 那么這個語言是 可計算的 ( Turing-recognizable ) , 同時這個語言又是 補集是可計算的 ( co-Turing-recognizable ) ;

可計算 : Turing-recognizable

補集可計算 : co-Turing-recognizable

之前提到過 通用圖靈機語言 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 是 可計算的 , 對應的計算模型是 圖靈機 , 但 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 是 不可判定的 ;

可判定 = 可計算 + 補集可計算

通用圖靈機語言 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 是 不可判定的 , 可計算的 , 其補集肯定是不可計算的 ;

參考博客 : 【計算理論】可判定性 ( 通用圖靈機和停機問題 | 可判定性 與 可計算性 | 語言 與 算法模型 )

五、可判定性 與 有效性

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可判定性 與 有效性 :

① 可判定性 ( Decidability ) : 計算模型是 圖靈機中的 判定機 ;

② 有效性 : 在 多項式時間 內 , 可以執行完畢 , 得到一個確定的結果的算法 ;

六、語言分類

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語言分類 :

① 可計算語言 : 下推自動機等價問題算法 $\mathrm{E}{\mathrm{Q}}_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{A}}$ , 通用圖靈機語言 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ ;

② 可判定語言 : 無效算法語言 , 有效算法語言 ;

③ 無效算法語言 : 蠻力窮舉算法 ;

④ 有效算法語言 : 正則表達式 , 上下文無關語言 , 動態規劃算法 , 貪心算法 ;

下圖中 , 分為 可計算 , 可判定 , 無效算法 , 有效算法 ;

① 可計算 : 藍色部分之外的是 可計算語言 , 對應的計算模型是 圖靈機 ;

② 可判定 : 藍色圓框 之內的是 可判定語言 , 對應的計算模型是 判定機 ;

③ 無效算法 : 藍色圓框 與 紅色圓框 之間的是 無效算法 , 蠻力窮舉算法 ;

④ 有效算法 : 紅框內的算法是 有效算法 , 可以在 多項式時間 內得到一個結果 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】计算复杂性 ( 阶段总结 | 计算理论内容概览 | 计算问题的有效性 | 语言与算法模型 | 可计算性与可判定性 | 可判定性与有效性 | 语言分类 ) ★的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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