文章目錄

• 一、P 類(lèi)
• 二、有效算法函數(shù)
• 三、NP 直覺(jué)
• 四、NP 簡(jiǎn)介
• 五、NP 嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義

一、P 類(lèi)

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時(shí)間復(fù)雜度類(lèi) :

定義 時(shí)間復(fù)雜度類(lèi) $\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{E}(\mathrm{t}(\mathrm{n}))$ , $\mathrm{L}$ 是一個(gè)語(yǔ)言 , 對(duì)應(yīng)一個(gè)計(jì)算問(wèn)題 , 如果可以被 單個(gè)帶子的圖靈機(jī) $\mathrm{T}\mathrm{M}$ 進(jìn)行判定的話 , 它的 時(shí)間復(fù)雜度是 $\mathrm{O}(\mathrm{t}(\mathrm{n}))$ ;

符號(hào)化表示 : $\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{E}(\mathrm{t}(\mathrm{n}))=\{\mathrm{L}:\mathrm{L}是一個(gè)語(yǔ)言,該語(yǔ)言可以被時(shí)間復(fù)雜度\mathrm{O}(\mathrm{t}(\mathrm{n}))的單個(gè)帶子圖靈機(jī)識(shí)別\}$

$\mathrm{P}$ 類(lèi) :

所有 能夠被 確定性 單個(gè)帶子圖靈機(jī) , 在 多項(xiàng)式時(shí)間 內(nèi) , 能夠被 判定的計(jì)算問(wèn)題 ,

將這些問(wèn)題放在一起 ( 廣義并集 $?$ ) , 組成一個(gè)整體 , 就稱為 $\mathrm{P}$

符號(hào)化表示 : $\mathrm{P}={?}_{\mathrm{k}}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{E}({\mathrm{n}}^{\mathrm{k}})$

$\mathrm{P}$ 類(lèi) , 就是定義 有效算法 所組成的類(lèi) ,

有效算法 , 就是在 多項(xiàng)式時(shí)間 內(nèi) , 可以執(zhí)行完畢 , 得到一個(gè)確定的結(jié)果的算法 ;

確定的結(jié)果就是 接受狀態(tài) , 或 拒絕狀態(tài) ;

二、有效算法函數(shù)

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上述 $\mathrm{P}$ 類(lèi) 是對(duì) 有效算法 進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義 ;

計(jì)算理論的意義就是 證明 有哪些計(jì)算問(wèn)題 , 是不存在有效算法的 , 如果沒(méi)有確定性的有效算法 , 就需要 找近似的算法 , 解決同樣的問(wèn)題 , 而不是確定性的算法 ;

有效算法是一個(gè)函數(shù) , 該函數(shù)的主要依賴于 輸入字符串大小 ;

如果給定一個(gè)確定性圖靈機(jī) , 定義其時(shí)間復(fù)雜度 , 通過(guò) $\mathrm{f}$ 函數(shù)進(jìn)行定義 , $\mathrm{f}$ 函數(shù)是從 自然數(shù)集 $\mathrm{N}$ 到 自然數(shù)集 $\mathrm{N}$ 的映射 ,

符號(hào)化表示 : $\mathrm{f}:\mathrm{N}\to \mathrm{N}$ ,

定義域中的自然數(shù) $\mathrm{N}$ 指的是 輸入字符串大小 ,

值域中的自然數(shù) $\mathrm{N}$ 指的是 圖靈機(jī)計(jì)算所執(zhí)行的步數(shù) ;

時(shí)間復(fù)雜度 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 定義方式 : 將所有長(zhǎng)度為 $\mathrm{n}$ 的字符串 , 依次輸入到圖靈機(jī)中進(jìn)行計(jì)算 , 所有的計(jì)算中取最大的計(jì)算步數(shù) , 作為 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 的取值 ;

三、NP 直覺(jué)

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有兩個(gè)問(wèn)題 ,

問(wèn)題 $\mathrm{A}$ , 花了一天時(shí)間 , 找到了解決方案 ,

問(wèn)題 $\mathrm{B}$ , 已經(jīng)存在了解決方案 , 讀懂該方案 , 花了一天時(shí)間 ,

這兩個(gè)問(wèn)題 , 在第一印象直覺(jué)中 , 問(wèn)題 $\mathrm{B}$ 更難一些 ;

理解 問(wèn)題 $\mathrm{B}$ 的解決方案 , 是一個(gè)簡(jiǎn)單的任務(wù) ,

解決 問(wèn)題 $\mathrm{A}$ , 是更難的任務(wù) ,

兩者都花了一天的時(shí)間 , 直覺(jué)上感覺(jué)問(wèn)題 $\mathrm{B}$ 更難 ;

解決問(wèn)題 , 一般比 理解解決問(wèn)題的方案 , 更難一些 ;

類(lèi)似于 學(xué)習(xí) 和 科研 的難度 ,

學(xué)習(xí) 是理解現(xiàn)有解決方案 , 是簡(jiǎn)單任務(wù) ,

科研 是提出解決方案 , 是比較難的任務(wù) ;

通常情況下 , 一個(gè)問(wèn)題 , 沒(méi)有答案 , 要找到答案的話 , 需要?jiǎng)?chuàng)造性 ,

如果已經(jīng)有一個(gè)答案 , 驗(yàn)證這個(gè)答案的正確性 , 通常 不需要?jiǎng)?chuàng)造性的 , 只需要有理解能力就足夠了 ;

四、NP 簡(jiǎn)介

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$\mathrm{P}$ 目的是確定哪些 計(jì)算問(wèn)題 是 可以被 有效解決 的計(jì)算問(wèn)題 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 目的是確定哪些 計(jì)算問(wèn)題 是 可以被 有效驗(yàn)證 的計(jì)算問(wèn)題 ;

驗(yàn)證 : 驗(yàn)證值的是 , 計(jì)算問(wèn)題 已經(jīng)有正確的答案 , 將正確的答案 , 根據(jù)某些有限的指令 , 規(guī)則 , 驗(yàn)證 算法的 每一步是否正確 ;

驗(yàn)證 相當(dāng)于 學(xué)習(xí)的過(guò)程 , 解決 相當(dāng)于 科研過(guò)程 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 對(duì)應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題 , 指的是能夠 在 多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi) , 能夠 驗(yàn)證 的計(jì)算問(wèn)題 ;

$\mathrm{P}$ 對(duì)應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題 , 指的是能夠 在 多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi) , 能夠 解決 的計(jì)算問(wèn)題 ;

$\mathrm{P}$ 是包含在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中的 : 如果有計(jì)算問(wèn)題 , 在 多項(xiàng)式時(shí)間 內(nèi)能夠 解決 , 肯定就能在 多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi) 能夠 驗(yàn)證 ;

$\mathrm{P}$ 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 的子集 ;

五、NP 嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義

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$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 是 多項(xiàng)式時(shí)間 內(nèi)的 驗(yàn)證機(jī) ;

驗(yàn)證機(jī) : $\mathrm{A}$ 語(yǔ)言 ( 計(jì)算問(wèn)題 ) 的 驗(yàn)證機(jī) $\mathrm{V}$ ;

$<\mathrm{w},\mathrm{c}>$ 含義 : 給定一個(gè) 輸入 $\mathrm{w}$ , $\mathrm{w}$ 是輸入字符串 , $\mathrm{c}$ 是輸入 $\mathrm{w}$ 被接受的情況下的輸入 , 即正確的輸入 ;

$\mathrm{A}$ 語(yǔ)言 ( 計(jì)算問(wèn)題 ) 的 驗(yàn)證機(jī) $\mathrm{V}$ 條件 : 給定了正確的輸入 $\mathrm{c}$ , 讓驗(yàn)證機(jī) $\mathrm{V}$ 進(jìn)行一步步驗(yàn)證 , 如果 驗(yàn)證機(jī) $\mathrm{V}$ 接受了輸入的字符串 $\mathrm{c}$ , 稱 驗(yàn)證機(jī) $\mathrm{V}$ 就是計(jì)算問(wèn)題 $\mathrm{A}$ 的驗(yàn)證機(jī) ;

符號(hào)化表示 : $\mathrm{A}=\{\mathrm{w}:驗(yàn)證機(jī)\mathrm{V}接受<\mathrm{w},\mathrm{c}>中正確的輸入\mathrm{c}\}$

驗(yàn)證操作 : 已經(jīng)有了正確答案 $\mathrm{c}$ , 有一個(gè)有限的規(guī)則 , 將正確答案 $\mathrm{c}$ 每一步 , 代入有限規(guī)則中進(jìn)行驗(yàn)證是否正確 ;

驗(yàn)證時(shí)間 : 已經(jīng)有了正確答案 $\mathrm{c}$ , 有一個(gè)有限的規(guī)則 , 將正確答案 $\mathrm{c}$ 每一步 , 代入有限規(guī)則中進(jìn)行驗(yàn)證是否正確 , 最后記錄整個(gè)驗(yàn)證過(guò)程所花費(fèi)的時(shí)間 ; 即 學(xué)習(xí)的過(guò)程 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 計(jì)算問(wèn)題要求 : 如果花費(fèi)的時(shí)間 在 多項(xiàng)式時(shí)間 之內(nèi) , 就稱 該問(wèn)題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 對(duì)應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題 ;

多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證機(jī) : $\mathrm{A}$ 語(yǔ)言 如果 可以在 多項(xiàng)式時(shí)間 內(nèi) 可以 驗(yàn)證 的話 , 就稱該語(yǔ)言 有一個(gè) 多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證機(jī) ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 類(lèi)就是有 多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證機(jī) 的 語(yǔ)言 ( 計(jì)算問(wèn)題 ) 的總體集合 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】计算复杂性 ( P 类 | 有效算法函数 | NP 直觉 | NP 简介 | NP 类严格数学定义 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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