文章目錄

• 一、P 類
• 二、NP 類
• 三、NPC 類 ( NP 完全 )
• 四、P 、NP 、NPC 三者關系

一、P 類

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$\mathrm{P}$ 類 : ★

所有 能夠被 確定性 單個帶子圖靈機 , 在 多項式時間 內 , 能夠被 判定的計算問題 ( 語言類 ) ,

將這些問題放在一起 ( 廣義并集 $?$ ) , 組成一個整體 , 就稱為 $\mathrm{P}$

符號化表示 : $\mathrm{P}={?}_{\mathrm{k}}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{E}({\mathrm{n}}^{\mathrm{k}})$

$\mathrm{P}$ 類 , 就是定義 有效算法 所組成的類 ,

有效算法 , 就是在 多項式時間 內 , 可以執行完畢 , 得到一個確定的結果的算法 ;

確定的結果就是 接受狀態 , 或 拒絕狀態 ;

$\mathrm{P}$ 類有效算法示例 : ★

① PATH

② 貪心算法

③ 動態規劃算法

④ REGULAR

⑤ CFL

參考博客 : 【計算理論】計算復雜性 ( P 類 | 有效算法函數 | NP 直覺 | NP 簡介 | NP 類嚴格數學定義 )

二、NP 類

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驗證機 : $\mathrm{A}$ 語言 ( 計算問題 ) 的 驗證機 $\mathrm{V}$ ; ★

$<\mathrm{w},\mathrm{c}>$ 含義 : 給定一個 輸入 $\mathrm{w}$ , $\mathrm{w}$ 是輸入字符串 , $\mathrm{c}$ 是輸入 $\mathrm{w}$ 被接受的情況下的輸入 , 即正確的輸入 ;

$\mathrm{A}$ 語言 ( 計算問題 ) 的 驗證機 $\mathrm{V}$ 條件 : 給定了正確的輸入 $\mathrm{c}$ , 讓驗證機 $\mathrm{V}$ 進行一步步驗證 , 如果 驗證機 $\mathrm{V}$ 接受了輸入的字符串 $\mathrm{c}$ , 稱 驗證機 $\mathrm{V}$ 就是計算問題 $\mathrm{A}$ 的驗證機 ;

符號化表示 : $\mathrm{A}=\{\mathrm{w}:驗證機\mathrm{V}接受<\mathrm{w},\mathrm{c}>中正確的輸入\mathrm{c}\}$

驗證操作 : 已經有了正確答案 $\mathrm{c}$ , 有一個有限的規則 , 將正確答案 $\mathrm{c}$ 每一步 , 代入有限規則中進行驗證是否正確 ;

驗證時間 : 已經有了正確答案 $\mathrm{c}$ , 有一個有限的規則 , 將正確答案 $\mathrm{c}$ 每一步 , 代入有限規則中進行驗證是否正確 , 最后記錄整個驗證過程所花費的時間 ; 即 學習的過程 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 計算問題要求 : 如果花費的時間 在 多項式時間 之內 , 就稱 該問題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 對應的計算問題 ;

多項式時間驗證機 : $\mathrm{A}$ 語言 如果 可以在 多項式時間 內 可以 驗證 的話 , 就稱該語言 有一個 多項式時間驗證機 ; ★

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 類就是有 多項式時間驗證機 的 語言類 ( 計算問題集合 ) ; ★

1 . $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 類算法舉例 : ★

① 蠻力窮舉算法 ;

2 . $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 類包含 $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 類 ( $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全 ) , $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 算法舉例 : ★

① 布爾可滿足性問題 SAT

② 3-SAT

③ 團問題 : 無向圖中是否包含 $\mathrm{k}$ 團 , $\mathrm{k}$ 個節點兩兩之間有邊相連 ;

④ 獨立集問題

⑤ 頂點覆蓋問題

⑥ 哈密頓路徑問題

⑦ 旅行商問題

⑧ 子集和問題

3 . $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 類中 , 既不屬于 $\mathrm{P}$ , 又不屬于 $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 的問題也是存在的 , 如 : ★

① 圖同構問題

參考博客 :

• 【計算理論】計算復雜性 ( P 類 | 有效算法函數 | NP 直覺 | NP 簡介 | NP 類嚴格數學定義 )
• 【計算理論】計算復雜性 ( NP 完全問題 - 布爾可滿足性問題 ★ | 布爾可滿足性問題是 NP 完全問題證明思路 ) ★
• 【計算理論】計算復雜性 ( 3-SAT 是 NP 完全問題 | 團問題是 NP 完全問題 | 團問題是 NP 完全問題證明思路 )
• 【計算理論】計算復雜性 ( NP 完全問題 | 頂點覆蓋問題 | 哈密頓路徑問題 | 旅行商問題 | 子集和問題 )
• 【計算理論】計算復雜性 ( NP 完全問題 | NP 難 問題 P = NP 的情況 | NP 難 問題 P ≠ NP 的情況 )

三、NPC 類 ( NP 完全 )

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NPC 是 NP-Completeness ( NP 完全 ) 的簡稱 ;

NP 完全 定義 ★ :

如果 語言 $\mathrm{B}$ 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 必須滿足如下兩個條件 :

① 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 : 語言 $\mathrm{B}$ 對應的計算問題必須在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中 , 換句話說就是可以找到一個多項式算法 , 可以驗證該計算問題 ;

② 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 最難問題 : 在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中的任何計算問題 $\mathrm{A}$ , 都可以在 多項式時間規約 到 $\mathrm{B}$ , 也就是說在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中的任何計算問題 , 其難易程度都不會超過 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{B}$ 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中最難的問題 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中其它所有的計算問題的難以長度都不會超過 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{B}$ 問題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中最難的問題 ;

NP 完全命題 ★ : 如果 $\mathrm{B}$ 問題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 并且 $\mathrm{B}$ 能在 多項式時間規約 到 $\mathrm{C}$ , 記作 $\mathrm{B}\le \mathrm{C}$ , 則 $\mathrm{C}$ 也是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

該命題是很重要的命題 , 驗證一個命題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 需要滿足上面的兩個條件 , ① 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 , ② 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 最難問題 ;

將計算問題與 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中最難問題 $\mathrm{B}$ 進行比較 , 是很難的 , 如果已經知道某個計算問題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 就不需要與 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中所有問題進行比較 , 只與當前已知的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題比較即可 ;

將 已知的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 計算問題 $\mathrm{B}$ , 與 要驗證的 $\mathrm{C}$ 問題 , 進行規約 , 就知道 $\mathrm{C}$ 問題是否是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

歷史已經找到了一個 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 : 布爾可滿足性問題 ( Boolean Satisfiability Problem；SAT ) ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 類包含 $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 類 ( $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全 ) , $\mathrm{N}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 算法舉例 : ★

① 布爾可滿足性問題 SAT

② 3-SAT

③ 團問題 : 無向圖中是否包含 $\mathrm{k}$ 團 , $\mathrm{k}$ 個節點兩兩之間有邊相連 ;

④ 獨立集問題

⑤ 頂點覆蓋問題

⑥ 哈密頓路徑問題

⑦ 旅行商問題

⑧ 子集和問題

參考博客 :

• 【計算理論】計算復雜性 ( P 類 | 有效算法函數 | NP 直覺 | NP 簡介 | NP 類嚴格數學定義 )
• 【計算理論】計算復雜性 ( 多項式時間規約 | NP 完全 ★ | 布爾可滿足性問題 ) ★
• 【計算理論】計算復雜性 ( NP 完全問題 - 布爾可滿足性問題 ★ | 布爾可滿足性問題是 NP 完全問題證明思路 ) ★
• 【計算理論】計算復雜性 ( 3-SAT 是 NP 完全問題 | 團問題是 NP 完全問題 | 團問題是 NP 完全問題證明思路 )
• 【計算理論】計算復雜性 ( NP 完全問題 | 頂點覆蓋問題 | 哈密頓路徑問題 | 旅行商問題 | 子集和問題 )
• 【計算理論】計算復雜性 ( NP 完全問題 | NP 難 問題 P = NP 的情況 | NP 難 問題 P ≠ NP 的情況 )

四、P 、NP 、NPC 三者關系

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該觀點目前認為是正確的 , 同樣也沒有嚴格的證明 ;

$\mathrm{P}=\mathrm{N}\mathrm{P}$ 情況分析 : 如果 $\mathrm{P}=\mathrm{N}\mathrm{P}$ , 則有

$\mathrm{P}<\mathrm{N}\mathrm{P}$ , ★

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全 $<\mathrm{N}\mathrm{P}$ ★

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 中包含了三種計算問題 : ★

① $\mathrm{P}$ 問題

② $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題

③ 其它問題 , 既不屬于 $\mathrm{P}$ 問題 , 又不屬于 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 ;

圖同構問題 , 就屬于 其它問題 , 既不屬于 $\mathrm{P}$ 問題 , 又不屬于 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 ;

$\mathrm{N}\mathrm{P}$ 難 問題 , 包含了 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 , 不包含 $\mathrm{P}$ 問題 和 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中的其它問題 ;

參考博客 : 【計算理論】計算復雜性 ( NP 完全問題 | NP 難 問題 P = NP 的情況 | NP 難 問題 P ≠ NP 的情況 )

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】计算理论总结 ( P 、NP 、NPC 总结 ) ★★的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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