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• 一、周期序列定義
• 二、周期序列示例

一、周期序列定義

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周期序列定義 : $x(n)$ 滿足
$$x(n)=x(n+N)?\infty <n<+\infty$$

條件 , 并且 $N$ 是滿足上述條件的 最小整數 , $x(n)$ 可以被稱為 以 $N$ 為周期 的 周期序列 ;

周期序列可以表示為 : $$x(n)$$

這里特別注意 , 周期 $N$ 是一個 " 整數 " , 沒有單位 , 不是時間單位 , 這是因為 采樣間隔不確定 , 其量級可能是納秒、微秒、毫秒、秒、年等單位 ;

傅里葉級數變換時 , 其 頻譜 是 離散的 , 其 時域 是 周期的 ;

連續 非周期 的 傅里葉變換 也是 連續 非周期的 ;

頻域 與 時域 存在一個對偶關系 :

• 時域 是 周期的 , 頻域 是 離散的
• 時域 是 離散的 , 頻域 是 周期的

二、周期序列示例

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給定周期序列 :

$$x(n)=\sin (\frac{\pi n}{4})$$

有 $2$ 個條件是已知條件 :

① 正弦函數周期 : $\sin$ 正弦函數 的周期是 $2\pi$ ;

$$sin(?)=sin(?+2k\pi )$$

代入到周期序列中 :

$$x(n)=sin(\frac{\pi n}{4})=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

② 周期序列特性 : 上述序列是 周期序列 , 一定滿足 $x(n)=x(n+N)?\infty <n<+\infty$ 條件 ;

代入到周期序列中 : 使用 $n+N$ 替換 $n$ ;

$$x(n)=sin(\frac{\pi n}{4})=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

$$x(n)=sin(\frac{\pi }{4}(n+N))=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

直接對比 $\sin$ 函數中的參數 :

$$\frac{\pi }{4}(n+N)=\frac{\pi }{4}(n)+2k\pi$$

$$\frac{\pi }{4}n+\frac{\pi }{4}N=\frac{\pi }{4}(n)+2k\pi$$

$$\frac{\pi }{4}N=2k\pi$$

$$N=8k$$

最小周期為 $N=8,k=1$

其含義是 $1$ 個 $\sin$ 模擬周期 內采集了 $8$ 個樣本 ;

計算 $k$ 的值 :

數字角頻率 $\omega$ ( 單位 : 弧度 ) 與 模擬角頻率 $\Omega$ ( 單位 : 弧度/秒 ) 關系如下 :

$$\omega =\Omega T$$

其中 , $T$ 是采樣周期 , 單位是 秒 ;

$\omega =\frac{\pi }{4}$ ,

$\Omega =2\pi f_0$ , 其中 $f_0$ 是模擬頻率 , 沒有單位 ,

$f_0=\frac{T}{T_0}$ , 其中 $T_0$ 是模擬信號 周期 , 這里是 $2\pi$ ;

將上述內容代入公式 :

$$\omega =\frac{\pi }{4}=\Omega T=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$\frac{\pi }{4}=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$8T=T_0$$

也就是說 在一個 模擬采樣 周期中 , 至少要采集 $8$ 個樣本 ;

下圖的 $\sin$ 函數中的一個周期內 , 采集了 $8$ 個樣本 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】周期序列 ( 周期序列定义 | 周期序列示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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