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• 一、周期序列示例 3 ( 判斷序列是否是周期序列 )

一、周期序列示例 3 ( 判斷序列是否是周期序列 )

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給定周期序列 :

$$x(n)=\sin (n)$$

有 $2$ 個條件是已知條件 :

① 正弦函數周期 : $\sin$ 正弦函數 的周期是 $2\pi$ ;

$$sin(?)=sin(?+2k\pi )$$

代入到周期序列中 :

$$x(n)=sin(n)=sin(n+2k\pi )$$

② 周期序列特性 : 上述序列是 周期序列 , 一定滿足 $x(n)=x(n+N)?\infty <n<+\infty$ 條件 ;

代入到周期序列中 : 使用 $n+N$ 替換 $n$ ;

$$x(n)=sin(n)=sin(n+2k\pi )$$

$$x(n)=sin(n+N)=sin(n+2k\pi )$$

直接對比 $\sin$ 函數中的參數 :

$$n+N=n+2k\pi$$

$$N=2k\pi$$

上述公式中 , 不管 $k$ 取值什么值 , $N$ 都無法是整數 ;

周期序列成立的前提是 $N$ 必須是整數 ;

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周期序列定義 : $x(n)$ 滿足
$$x(n)=x(n+N)?\infty <n<+\infty$$

條件 , 并且 $N$ 是滿足上述條件的 最小整數 , $x(n)$ 可以被稱為 以 $N$ 為周期 的 周期序列 ;

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計算 $k$ 的值 :

數字角頻率 $\omega$ ( 單位 : 弧度 ) 與 模擬角頻率 $\Omega$ ( 單位 : 弧度/秒 ) 關系如下 :

$$\omega =\Omega T$$

其中 , $T$ 是采樣周期 , 單位是 秒 ;

$\omega =1$ ,

$\Omega =2\pi f_0$ , 其中 $f_0$ 是模擬頻率 , 沒有單位 ,

$f_0=\frac{T}{T_0}$ , 其中 $T_0$ 是模擬信號 周期 , 這里是 $2\pi$ ;

將上述內容代入公式 :

$$\omega =1=\Omega T=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$1=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$2\pi T=T_0$$

也就是說 在 $1$ 個模擬型號 $\sin$ 周期中 , 至少要采集 $2\pi$ 個 數字樣本 ;

$\pi$ 是無理數 ;

總結

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