文章目錄

• 一、傅里葉變換時移性質
• • 1、證明過程
  • 2、使用場景

一、傅里葉變換時移性質

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傅里葉變換頻移性質 :

" 序列信號 $x(n)$ " 的 " 傅里葉變換 A " ,

" 序列信號 $x(n)$ " 與 " 單位復指數 $e^{j{\omega }_{0}n}$ " 相乘 , 得到的 " 序列 B " ,

注意這里的 單位復指數 中的 ${\omega }_0$ 就是 傅里葉變換 中的移位 ,

求該 " 序列 B " 的 " 傅里葉變換 C " ,

" 傅里葉變換 A " 與 " 傅里葉變換 C " 這兩個頻域信息形狀相同 , 位移相差 ${\omega }_0$ ;

也就是說

" 傅里葉變換 A " 移位 ${\omega }_0$ 后, 得到 " 傅里葉變換 C " ;

使用公式表示為 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=X(e^{j(\omega ?{\omega }_0)})$$

1、證明過程

傅里葉變換 公式為 :

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}①$$

將 $e^{j{\omega }_{0}n}x(n)$ 作為序列 , 代入到上面的公式 ① 中 , 得到 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{j{\omega }_{0}n}x(n)e^{?j\omega n}$$

移項 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{j{\omega }_{0}n}{e}^{?j\omega n}$$

合并 $e^{j{\omega }_{0}n}$ 與 $e^{?j\omega n}$ 項 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j(\omega ?{\omega }_0)n}$$

最終得到 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=X(e^{j(\omega ?{\omega }_0)})$$

證明完畢 ;

2、使用場景

寬帶信號 , 其中有很多信號 , 將信號從一個頻率搬移到另一個頻率中 , 使用濾波將其它信號過濾 , 然后采樣播放出來 ;

頻率搬移的過程 , 使用的就是 傅里葉變換頻移性質 ;

總結

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