有限元法求解二維 Poisson 方程的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 陳 蓮a ，郭元輝b ，鄒葉童a ( 西華師范大學(xué) a． 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院; b． 教育信息技術(shù)中心，四川南充 6437009) 摘 要: 文章討論了圓形區(qū)域上的三角形單元剖分、有限元空間，通過變分形式離散得到有限元方程． 用 MATLAB 編程求得數(shù)值解，并進(jìn)行了誤差分析． 關(guān)鍵詞: Poisson 方程; 有限元方法; MATLAB 編程; 三角形單元剖分中圖分類號: O241． 8 文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A 文章編號: 1009 －4970( 2018) 05 －0015 －04 0 引言 熱學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、聲學(xué)等學(xué)科中的相關(guān)過程，都可以用橢圓型方程來描述． 最為典型的橢圓型方程就是泊松方程［1］． 泊松方程在許多工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，如它可以用來模擬半導(dǎo)體器件的靜電過程． 在實(shí)際應(yīng)用中，求解區(qū)域往往是不規(guī)則的，因此要想求出問題的解析解是非常困難的，很有必要研究其數(shù)值計(jì)算方法． 求解偏微分方程數(shù)值解常用的方法為有限差分法和有限元方法． 有限元方法是由 20 世紀(jì) 50 年代初的工程師們提出，其最初的數(shù)學(xué)思想是康托提出在三角形網(wǎng)格上用逐片線性函數(shù)去逼近 Dirichlet 邊值問題［2］． 有限元方法［3 －4］是基于傳統(tǒng)的 Ｒitz －Galerkin 方法和有限差分方法優(yōu)點(diǎn)的一種數(shù)值方法，相對有限差分方法它更擅長處理各種復(fù)雜區(qū)域，是求解偏微分方程數(shù)值解的一種有效方法． 基于此，結(jié)合 MATLAB 強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力和繪圖功能，本文用有限元方法求解圓形區(qū)域上的泊松方程，通過 MATLAB 編程實(shí)現(xiàn)求解過程． 討論二維 Poisson 方程 － Δu = f( x，y) ， ( x，y) ∈Ω， u =0， ( x，y) ∈Ω{ ， ( 1) 其中 Δu = 2u x2 + 2u y2 ，f( x，y) ∈L2( Ω) ，Ω 為 Ｒ2 中的 有界凸區(qū)域，區(qū)域 Ω = x，( )y x2 + y2{ }＜1 ． 1 二維 Poisson 方程的有限元法 1． 1 有限元方法的基本原理和步驟 有限元法是基于變分原理和剖分技術(shù)的一種數(shù)值計(jì)算方法，把微分方法的定解問題轉(zhuǎn)化為求解一 個(gè)等價(jià)的“變分問題”． 具體步驟如下． 1) 根據(jù)微分方程的邊界條件給出對應(yīng)定解問題的泛函及其等價(jià)的變分問題; 2) 選定單元的性狀，對求解區(qū)域進(jìn)行單元剖分，構(gòu)造單元基函數(shù); 3) 對多元函數(shù)的泛函求極值，形成有限元方 程; 4) 處理邊界插值函數(shù)，求解有限元方程; 5) 收斂性及誤差分析． 1． 2 Poisson 方程的變分形式 對 u ∈ H2 0( Ω) ， v ∈ H1 0( Ω) ， 在 方 程 － Δu = f( x，y) 兩邊同乘以v，在區(qū)域Ω上積分，由 Green 積分公式［5］ 得，  Ω u x v x + u y v  ( ) y dxdy =  Ω fvdxdy ( 2) 收稿日期: 2017 － 09 － 18 基金項(xiàng)目: 西華師范大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目( CXTD2015 － 2) ; 西華師范大學(xué)英才基金( 17YC180) 作者簡介: 陳蓮( 1993—) ，女，四川德陽人，碩士． 研究方向: 數(shù)值計(jì)算．通訊作者: 郭元輝( 1962—) ，男，重慶巴縣人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師． 研究方向: 工程模擬與數(shù)值計(jì)算方法． ·51· 2018 年 5 月第 37 卷 第 5 期 洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào) Journal of Luoyang Normal Unive

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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