看圖學(xué)數(shù)學(xué)！可能是中國(guó)最好的高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念講解，深入淺出、形象生動(dòng)。沒(méi)有高深的數(shù)學(xué)符號(hào)，只有你能懂的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

在實(shí)數(shù)域中，連接兩個(gè)真理的最短的路徑是通過(guò)復(fù)數(shù)域----雅克·阿達(dá)馬

現(xiàn)代數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)數(shù)的看法如斯，無(wú)限拔高了復(fù)數(shù)的地位，這樣說(shuō)有道理嗎？

1 對(duì)于復(fù)數(shù)的普通認(rèn)知

我想，對(duì)于復(fù)數(shù)，或許大家一般會(huì)有以下的認(rèn)知吧。

1.1 應(yīng)付考試

高中的時(shí)候，會(huì)粗略地學(xué)習(xí)下復(fù)數(shù)，首先定義：

然后形如：

這樣的數(shù)就是復(fù)數(shù)。有了復(fù)數(shù)之后，開(kāi)方運(yùn)算就不再局限于大于0的數(shù)了，這樣高中必考的一元二次方程：

就總是有解了：

書(shū)上還會(huì)給出一些復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，這樣高考命題組就可以出題了。最后留給同學(xué)們的印象，似乎復(fù)數(shù)就是一個(gè)類似于太陽(yáng)能電筒(不帶蓄電池)一樣，屬于智力過(guò)剩的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)家的玩具。

1.2 數(shù)系完善

增加負(fù)數(shù)，可以使得減法任意進(jìn)行。而有了??之后，開(kāi)根號(hào)運(yùn)算就可以隨意了，比如：

對(duì)數(shù)運(yùn)算也可以操作負(fù)數(shù)了，比如(下面用到歐拉公式，可以參考這里)：

這樣，基本上就只有：

• 除以0

這兩個(gè)運(yùn)算沒(méi)有辦法執(zhí)行了。不過(guò)大家思考過(guò)沒(méi)有，完善數(shù)系真的那么重要呢？如果非常重要的話，為什么不能發(fā)明一個(gè)數(shù)系能夠使得“除以0?”可以進(jìn)行下去？

你別說(shuō)，史上有非常多的數(shù)學(xué)家想去發(fā)明能夠兼容“除以0”的數(shù)系，可惜都失敗了，因?yàn)闆](méi)有辦法自洽。比如說(shuō)，某個(gè)數(shù)系兼容“除以0?”，那么很容易得到荒謬的結(jié)論：

你說(shuō)這種擴(kuò)展數(shù)系的方法不對(duì)，換種別的擴(kuò)展方式或許就能自洽。但是數(shù)學(xué)家試過(guò)各種擴(kuò)展方式，都沒(méi)有辦法自洽。

深想一步，嘗試了無(wú)數(shù)種方法都沒(méi)有發(fā)明出兼容“除以0?”的數(shù)系，是否意味著不存在這樣的數(shù)系。就好比，嘗試了無(wú)數(shù)種永動(dòng)機(jī)，下面是其中之一：

這些永動(dòng)機(jī)最后都被證偽，實(shí)際上“永動(dòng)機(jī)”這個(gè)目標(biāo)就是錯(cuò)誤的(1775年法國(guó)科學(xué)院通過(guò)決議，宣布永不接受永動(dòng)機(jī)。現(xiàn)在美國(guó)專利及商標(biāo)局嚴(yán)禁將專利證書(shū)授予永動(dòng)機(jī)類申請(qǐng)。據(jù)說(shuō)現(xiàn)在有什么時(shí)間晶體，不了解就不發(fā)言)。

再深想一步，為什么擴(kuò)展??就那么容易呢？沒(méi)有遇到自洽的問(wèn)題呢？這是因?yàn)楫?dāng)人們抽象出“1+1=2”的時(shí)候，復(fù)數(shù)就根植于邏輯之上、存在于數(shù)學(xué)之中，靜靜地等待著人們的發(fā)現(xiàn)。

2 二維的數(shù)

假設(shè)有一個(gè)生活在二維空間中的紙片人：

突然發(fā)現(xiàn)有一個(gè)黑點(diǎn)在草地上忽大忽小的閃爍，紙片人完全不知道怎么去解釋：

如果切換到三維視角去的話，問(wèn)題就很簡(jiǎn)單了，原來(lái)是一個(gè)三維的球體穿過(guò)二維平面：

上面的完整動(dòng)畫(huà)如下(出處是這里)：

實(shí)數(shù)是一維的數(shù)，既生活在一維的實(shí)數(shù)軸上，又困囿其上：

而復(fù)數(shù)生活在二維復(fù)平面，擁有更大的自由度：

類比剛才的動(dòng)畫(huà)，你就會(huì)明白為什么復(fù)數(shù)域更加重要，也不可或缺，因?yàn)樗鼛Ыo我們更廣闊的視野。在復(fù)數(shù)域中解決一些問(wèn)題會(huì)更加簡(jiǎn)單、更接近本質(zhì)。

讓我們帶著這個(gè)模型重新審視下復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史，進(jìn)一步去理解復(fù)數(shù)。

3 復(fù)數(shù)的歷史

3.1 紙片人卡爾達(dá)諾

意大利數(shù)學(xué)家，吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾(1501－1576)，在它的著作《大術(shù)》中(這本書(shū)首次記載了一元三次方程的完整解法)提到這個(gè)一個(gè)問(wèn)題，能否把10分成兩部分，使它們的乘積為40？

他給出一個(gè)答案，令：

這樣就滿足題目的要求：

不過(guò)他自己也認(rèn)為這不過(guò)就是一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，雖然出現(xiàn)了虛數(shù)，但是“既不可捉摸又沒(méi)有什么用處”。

此時(shí)的卡爾達(dá)諾就好像之前的紙片人，雖然想到了虛數(shù)，觸摸到了更高的維度，但是終究還是把它看成一種幻想。

之后的笛卡爾把??稱為虛數(shù)，也就是虛幻的、想像出來(lái)的數(shù)；萊布尼茲描述它為“介乎于存在與不存在之間的兩棲數(shù)”。

確實(shí)，紙片人要跳出自己的維度去想問(wèn)題是非常困難的。

3.2 邦貝利的思維飛躍

拉斐爾·邦貝利(1526－1572)，文藝復(fù)興時(shí)期歐洲著名的工程師，同時(shí)也是一個(gè)卓越的數(shù)學(xué)家，其出版于1572年的《代數(shù)學(xué)》一書(shū)討論了負(fù)數(shù)的平方根(虛數(shù))：

正是這本書(shū)產(chǎn)生了一個(gè)思維飛躍，下面用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)介紹一下。

3.2.1 一元二次方程

首先，標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程：

它的解為：

從幾何上看，解就是??與??的交點(diǎn)。當(dāng)??時(shí)，??與??有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是有兩個(gè)根??、??：

而??，此時(shí)??與??不相交：

也就是說(shuō)，不引入虛數(shù)(因?yàn)??，如果根據(jù)公式求解的話，就會(huì)引入虛數(shù))，是不會(huì)產(chǎn)生任何問(wèn)題的。本來(lái)從幾何上看，此時(shí)方程就不應(yīng)該有解。

3.2.2 一元三次方程

形如：

的三次方程，卡爾丹諾在《大術(shù)》這本書(shū)中給出了通解：

如果??，??，可以得到方程：

從圖像上看，??與??有三個(gè)交點(diǎn)的：

套用通解會(huì)得到：

邦貝利指出：從幾何上看是有解的，但是必須通過(guò)虛數(shù)來(lái)求解！

邦貝利大膽地定義了復(fù)數(shù)的乘法(就是多項(xiàng)式乘法的合理延伸)：

最終通過(guò)復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)乘法，邦貝利解出了此方程的三個(gè)實(shí)數(shù)解(這里不過(guò)多解釋了，這不是本文的重點(diǎn))。

這是一個(gè)巨大的思維飛躍，就好像剛才的紙片小人，困惑于“為什么有一個(gè)黑點(diǎn)在草地上忽大忽小的閃爍”？最終發(fā)現(xiàn)，需要通過(guò)更高維度才能真正解決這個(gè)問(wèn)題。

邦貝利通過(guò)更高維度的復(fù)平面，解決了低維度的實(shí)數(shù)問(wèn)題，真正的把復(fù)數(shù)帶入了人們的視野。所以他被認(rèn)為是復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)者。

3.3 傅立葉變換

復(fù)數(shù)進(jìn)入紙片人的視野，大家花了很長(zhǎng)的時(shí)間才真正接受它。接受它之后發(fā)現(xiàn)了非常多的應(yīng)用，比如傅立葉變換。

還是回到之前紙片人的動(dòng)畫(huà)，對(duì)于紙片人，它只有上下左右的觀念：

而三維空間的人卻可以看到更多的方向、更多的內(nèi)容：

傅立葉變換也可以說(shuō)是同樣的思路，??是低維度的函數(shù)：

對(duì)??進(jìn)行傅立葉變換：

拋開(kāi)其它細(xì)節(jié)不談，最重要的是??，乘以一個(gè)復(fù)數(shù)，就把??拉到更高維度的空間去審視，從而可以得到更多的細(xì)節(jié)，比如頻域。

關(guān)于傅立葉變換，我們也寫(xiě)過(guò)很多的文章，感興趣可以去看看：

• 如何直觀地理解傅立葉變換？

• 如何理解傅立葉級(jí)數(shù)公式？

• 從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換

4 更高維度的數(shù)

自然會(huì)有這么一個(gè)問(wèn)題，是否有更高維度的數(shù)？答案是有的，比如四元數(shù)。

威廉·哈密頓爵士(1805－1865)發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)：

其中?、?、??就是對(duì)虛數(shù)維度的擴(kuò)展。為此還成立了四元數(shù)推廣委員會(huì)，提議學(xué)校像實(shí)數(shù)一樣教授四元數(shù)。

四元數(shù)剛開(kāi)始的時(shí)候引起了很大的爭(zhēng)議，計(jì)算很復(fù)雜，但是用處不明顯。用處不明顯的原因或許是，當(dāng)時(shí)面臨的問(wèn)題還不夠復(fù)雜，還用不到比復(fù)數(shù)還高的維度。

到了現(xiàn)代，終于在電腦動(dòng)畫(huà)中、量子物理中找到了四元數(shù)更多的應(yīng)用，只是這些應(yīng)用對(duì)普通人距離太遠(yuǎn)了。

【來(lái)源】馬同學(xué)高等數(shù)學(xué) 。

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總結(jié)

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