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在實數域中，連接兩個真理的最短的路徑是通過復數域----雅克·阿達馬

現代數學家對復數的看法如斯，無限拔高了復數的地位，這樣說有道理嗎？

1 對于復數的普通認知

我想，對于復數，或許大家一般會有以下的認知吧。

1.1 應付考試

高中的時候，會粗略地學習下復數，首先定義：

然后形如：

這樣的數就是復數。有了復數之后，開方運算就不再局限于大于0的數了，這樣高中必考的一元二次方程：

就總是有解了：

書上還會給出一些復數的運算法則，這樣高考命題組就可以出題了。最后留給同學們的印象，似乎復數就是一個類似于太陽能電筒(不帶蓄電池)一樣，屬于智力過剩的產物，是數學家的玩具。

1.2 數系完善

增加負數，可以使得減法任意進行。而有了??之后，開根號運算就可以隨意了，比如：

對數運算也可以操作負數了，比如(下面用到歐拉公式，可以參考這里)：

這樣，基本上就只有：

• 除以0

這兩個運算沒有辦法執行了。不過大家思考過沒有，完善數系真的那么重要呢？如果非常重要的話，為什么不能發明一個數系能夠使得“除以0?”可以進行下去？

你別說，史上有非常多的數學家想去發明能夠兼容“除以0”的數系，可惜都失敗了，因為沒有辦法自洽。比如說，某個數系兼容“除以0?”，那么很容易得到荒謬的結論：

你說這種擴展數系的方法不對，換種別的擴展方式或許就能自洽。但是數學家試過各種擴展方式，都沒有辦法自洽。

深想一步，嘗試了無數種方法都沒有發明出兼容“除以0?”的數系，是否意味著不存在這樣的數系。就好比，嘗試了無數種永動機，下面是其中之一：

這些永動機最后都被證偽，實際上“永動機”這個目標就是錯誤的(1775年法國科學院通過決議，宣布永不接受永動機。現在美國專利及商標局嚴禁將專利證書授予永動機類申請。據說現在有什么時間晶體，不了解就不發言)。

再深想一步，為什么擴展??就那么容易呢？沒有遇到自洽的問題呢？這是因為當人們抽象出“1+1=2”的時候，復數就根植于邏輯之上、存在于數學之中，靜靜地等待著人們的發現。

2 二維的數

假設有一個生活在二維空間中的紙片人：

突然發現有一個黑點在草地上忽大忽小的閃爍，紙片人完全不知道怎么去解釋：

如果切換到三維視角去的話，問題就很簡單了，原來是一個三維的球體穿過二維平面：

上面的完整動畫如下(出處是這里)：

實數是一維的數，既生活在一維的實數軸上，又困囿其上：

而復數生活在二維復平面，擁有更大的自由度：

類比剛才的動畫，你就會明白為什么復數域更加重要，也不可或缺，因為它帶給我們更廣闊的視野。在復數域中解決一些問題會更加簡單、更接近本質。

讓我們帶著這個模型重新審視下復數的發現歷史，進一步去理解復數。

3 復數的歷史

3.1 紙片人卡爾達諾

意大利數學家，吉羅拉莫·卡爾達諾(1501－1576)，在它的著作《大術》中(這本書首次記載了一元三次方程的完整解法)提到這個一個問題，能否把10分成兩部分，使它們的乘積為40？

他給出一個答案，令：

這樣就滿足題目的要求：

不過他自己也認為這不過就是一個數學游戲，雖然出現了虛數，但是“既不可捉摸又沒有什么用處”。

此時的卡爾達諾就好像之前的紙片人，雖然想到了虛數，觸摸到了更高的維度，但是終究還是把它看成一種幻想。

之后的笛卡爾把??稱為虛數，也就是虛幻的、想像出來的數；萊布尼茲描述它為“介乎于存在與不存在之間的兩棲數”。

確實，紙片人要跳出自己的維度去想問題是非常困難的。

3.2 邦貝利的思維飛躍

拉斐爾·邦貝利(1526－1572)，文藝復興時期歐洲著名的工程師，同時也是一個卓越的數學家，其出版于1572年的《代數學》一書討論了負數的平方根(虛數)：

正是這本書產生了一個思維飛躍，下面用現代語言來介紹一下。

3.2.1 一元二次方程

首先，標準的一元二次方程：

它的解為：

從幾何上看，解就是??與??的交點。當??時，??與??有兩個交點，也就是有兩個根??、??：

而??，此時??與??不相交：

也就是說，不引入虛數(因為??，如果根據公式求解的話，就會引入虛數)，是不會產生任何問題的。本來從幾何上看，此時方程就不應該有解。

3.2.2 一元三次方程

形如：

的三次方程，卡爾丹諾在《大術》這本書中給出了通解：

如果??，??，可以得到方程：

從圖像上看，??與??有三個交點的：

套用通解會得到：

邦貝利指出：從幾何上看是有解的，但是必須通過虛數來求解！

邦貝利大膽地定義了復數的乘法(就是多項式乘法的合理延伸)：

最終通過復數以及復數乘法，邦貝利解出了此方程的三個實數解(這里不過多解釋了，這不是本文的重點)。

這是一個巨大的思維飛躍，就好像剛才的紙片小人，困惑于“為什么有一個黑點在草地上忽大忽小的閃爍”？最終發現，需要通過更高維度才能真正解決這個問題。

邦貝利通過更高維度的復平面，解決了低維度的實數問題，真正的把復數帶入了人們的視野。所以他被認為是復數的發現者。

3.3 傅立葉變換

復數進入紙片人的視野，大家花了很長的時間才真正接受它。接受它之后發現了非常多的應用，比如傅立葉變換。

還是回到之前紙片人的動畫，對于紙片人，它只有上下左右的觀念：

而三維空間的人卻可以看到更多的方向、更多的內容：

傅立葉變換也可以說是同樣的思路，??是低維度的函數：

對??進行傅立葉變換：

拋開其它細節不談，最重要的是??，乘以一個復數，就把??拉到更高維度的空間去審視，從而可以得到更多的細節，比如頻域。

關于傅立葉變換，我們也寫過很多的文章，感興趣可以去看看：

• 如何直觀地理解傅立葉變換？

• 如何理解傅立葉級數公式？

• 從傅立葉級數到傅立葉變換

4 更高維度的數

自然會有這么一個問題，是否有更高維度的數？答案是有的，比如四元數。

威廉·哈密頓爵士(1805－1865)發現了四元數：

其中?、?、??就是對虛數維度的擴展。為此還成立了四元數推廣委員會，提議學校像實數一樣教授四元數。

四元數剛開始的時候引起了很大的爭議，計算很復雜，但是用處不明顯。用處不明顯的原因或許是，當時面臨的問題還不夠復雜，還用不到比復數還高的維度。

到了現代，終于在電腦動畫中、量子物理中找到了四元數更多的應用，只是這些應用對普通人距離太遠了。

【來源】馬同學高等數學 。

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總結

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