計(jì)算方法上機(jī)練習(xí) 數(shù)值積分

(包括兩次的作業(yè) )

馬驄

問題： 《計(jì)算方法引論》pp.132–133 練習(xí)

分析：在實(shí)際應(yīng)中基本的數(shù)值積分，可 以分為以下種類 ：

? 牛頓型 ：在給定有 限區(qū) 間上求等距節(jié) 點(diǎn)上 的函數(shù)值 。如牛頓-柯茨法則

(數(shù)值上不好用 )、矩形法則 、梯形法則 、辛 卜生法則 ，以及 “擴(kuò)展 ”

(“復(fù)化 ”)的梯形法則或辛 卜生法則等等。

? 高斯型 ：在有 限或無 限區(qū)間上 ，計(jì)算 由一族正交多項(xiàng)式 的根為節(jié)點(diǎn)處 的

函數(shù)值 。選擇不 同的正交多項(xiàng)式可 以得到不 同的公式 ，如有 限區(qū)間上 的

高斯-勒讓德公式 (經(jīng)典高斯型積分 )、高斯-切 比謝夫公式 ，無 限區(qū)間上

的高斯-拉蓋爾公式和高斯-埃爾米特公式。

牛頓型積分法又分為開式和 閉式 ，以及半開式 。開式不使用區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值 ，

這在端點(diǎn)處有可積奇點(diǎn)的時(shí)候有很大 的優(yōu)越性 ；閉式使用兩端點(diǎn)的函數(shù)值 ；半

開式則使用一個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值 。以下主要使用 閉式。

為了增強(qiáng)牛頓型積分的效果，通常可 以考慮 以下方面：

1. 增加次數(shù) 。使用更高次 的多項(xiàng)式 ，在被積 函數(shù)光滑型好 的情況下可 以提

高精度 ，但是我們始終要注意 的一點(diǎn)是代數(shù)精度不等于精確度 。在被積

函數(shù)不光滑 的時(shí)候高次公式可能引入 巨大誤差 ，而且增加次數(shù)不能保證

收斂于真值 。

2. 復(fù)化 。將 區(qū) 間分成更 多小 區(qū) 間，在每個(gè) (每 組 )小 區(qū) 間上使用低 次公

式 。這種方法如果使用得當(dāng)可 以很好地提高精度 ，特別是復(fù)化梯形法在

被積 函數(shù)連續(xù)性 、光滑性很差 的時(shí)候是極其穩(wěn)健 的方法 。不過這要求 函

數(shù)求值 的次數(shù)非常多，特別是在使用逐次半分法進(jìn)行復(fù)化逼近 的時(shí)候 ，

如 果 區(qū) 間較長 ，或 函數(shù)躍變很大 ，則難 以收斂 ，并且舍入誤 差積 累很

大。

3. 外插 。所謂 “外插 ”指 的是理查森 的間接求極 限法用于求積分 。將誤差

項(xiàng) 的階數(shù)看作步長 的函數(shù) ，求 出步長逐漸減小時(shí)積分 的一系列近似值 ，

再將這些值外插 到步長 為0的極 限情況 ，得到的插值 結(jié)果作為數(shù)值積分

的結(jié)果 。在實(shí)現(xiàn)上有基于梯形公式 的龍 貝格法 。外插法 的速度快 ，但是

它適用 的范 圍并不一定 因此擴(kuò)大 。對(duì)于常規(guī)方法需要很多次計(jì)算才能逼

近 的情況 ，它 的求值 、四則運(yùn)算次數(shù)一般也可能很多，舍入誤差難 以控

制 。

高斯型積分 的節(jié) 點(diǎn)和權(quán)數(shù)需要預(yù)先計(jì)算好 ，節(jié) 點(diǎn)不能 自己選擇 。其 中高

斯-勒讓德型和高斯-切 比謝夫型 的積分節(jié)點(diǎn) 比較好計(jì)算 (前者利用解析性質(zhì)結(jié)

合牛頓求根法 ，后者可寫成顯式 )。高斯-拉蓋爾和高斯-埃爾米特型積分可分

別求半無窮或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上 的積分 。勒讓德型積分 比較普適 ；切 比謝夫型 的積

1

1

√

分適合于被積 函數(shù) 中有權(quán) 函數(shù) 因子 的情況 ，但一般情況下不及勒讓德

1 ? x2

2

型準(zhǔn)確 。拉蓋爾型和埃爾米特型分別適用于有權(quán) 函數(shù)e?x和e?x 的情形 。值得

注意 的是高斯型積分屬于 “開式 ”積分 ，不受端點(diǎn)處可積奇點(diǎn)的影響。一般在

被積函數(shù)解析形式 已知，光滑型 比較好 的時(shí)候使用 ，以獲取較大的精度 。

求解：我們只給出以上編寫的函數(shù) ，練習(xí)的求解僅僅是調(diào)用它們 。

? trapre?n.m 逐次半分的梯形求積

fun

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab内维尔差值代码,计算方法上机练习数值积分（包括两次作业）.PDF的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。