參考《常微分方程》第三版（王高雄）

常微分方程王高雄 第四章 高階微分方程_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?www.bilibili.com

對于高階微分方程，線性部分見4、5章，非線性部分見6章。

4.1 線性微分方程的一般理論

定義：線性微分方程分為非齊次微分方程和齊次微分方程

n階非齊次微分方程：

n階齊次微分方程：

其中系數及f（t）為閉區間[a,b]上的連續函數。

---

一.首先引進一些本章常用到的定義：

1.朗斯基行列式（p122）

2.函數的線性相關&線性無關

3.基本解組（p126）

二.齊次線性方程基本性質

a）存在唯一性定理

b）疊加原理

c） 函數線性相關性與朗斯基行列式的關系

d）方程解（函數）線性無關，則朗斯基行列式在區間上的任何一點都不為0

根據定理3和定理4可以知道，由n階齊次線性微分方程（4.2）的n個解構成的朗斯基行列式或者恒等于零，或者在方程的系數為連續的區間內處處不等于零

e）通解結構定理

三.非齊次線性微分方程的基本性質及常數變易法

a）齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程解之間的關系

b）常數變易法

設齊次線性微分方程的基本解組與通解如下：

則根據常數變易原理，可設非齊次線性微分方程的通解為：

則關鍵是確定

,最后得到方程的解如下形式：

具體證明及一個例子如下：

例子：

4.2 常系數線性微分方程的解法

事實上，對于一般的線性微分方程是沒有普遍的解法的.本節介紹求解問題能夠徹底解決的一類方程——常系數線性微分方程及可以化為這一類型的方程.我們將看到，為了求得常系數齊次線性微分方程的通解，只須解一個代數方程而不必通過積分運算.對于某些特殊的非齊次線性微分方程也可以通過代數運算和微分運算求得它的通解，我們一定要記住常系數線性微分方程固有的這種簡單特性.

討論常系數線性微分方程的解法時，需要涉及實變量的復值函數及復指數函數的問題。

4.2.1 復值函數與復值解

一.定義

a）首先給出復值函數的極限、連續、可微的概念

b）

的定義，其中

c）

的性質（p135）

d）方程的復值解的性質

4.2.2 常系數線性微分方程和歐拉方程

一. 齊次線性微分方程

設齊次線性微分方程中所有系數都是常數，即方程有如下形式：

由4.1的一般理論可知，為了求方程（4.19）的通解，只需要求出它的基本解組，求基本解組的一種很重要的方法—歐拉待定指數函數法（特征根法）

（等價轉換）分析可知：

為方程（4.19）的解的充要條件為 是代數方程

的根。

稱（4.21）為（4.19）的特征方程，它的根就稱為特征根。對于特征根，下面根據不同的情形分別進行討論：

（1）單根+實根

方程通解為：

（2）重根+實根（p140）

（4.25）和（4.26）全體n個解構成方程（4.19）的基本解組。對所以基本解組進行系數加權即得到通解。

（3）單根+復根

特征根為

和

（4）重根+復根（p141）：k->2k

二.歐拉方程（p142）

總結：歐拉方程通過自變量變換可轉化為常系數齊次線性微分方程，解的求法也類似可以得到

最后可化解為常系數齊次線性微分方程

而由前面的特征根法可知，方程（4.30）有形如

的解，又由變換可知 ，故 ，這一結果可作為求解歐拉方程的解的公式，即對于歐拉方程，我們設其解為

檢驗：以

代入歐拉方程（4.29）【做題時直接這樣替換即可】，約去因子 ，就得到確定K的代數方程及實根下的m個解與復根下的2m個解。

下面通過例6進一步理解：

4.2.3非齊次線性微分方程-比較系數法與拉普拉斯變換

前面4.1.3介紹了非齊次線性微分方程求解的常數變易法-即在已知齊次線性微分方程解的前提下，將常數加以自變量約定為非齊次的通解，微分求和，進行化解，求出常數加自變量后的導數，進而確定出常數加自變量的函數形式。。。上述步驟求解往往比較繁瑣。下面介紹當f(t)具有某些特殊形狀時所適用的一些方法——比較系數法與拉普拉斯變換。它們的特點是不需通過積分而用代數方法即可求得非齊次線性微分方程的特解，即將求解微分方程的問題轉化為某一個代數問題來處理，因而比較簡便.

1.比較系數法

• 類型I（p145）

• 類型II（p148）

• 類型II的特殊情形（p150）

2.拉普拉斯變換（p150）

4.3 高階微分方程的降階和冪級數解法

對于n階微分方程

4.3.1 可降階的一些方程類型

下面討論三類特殊方程的降階問題：

1.方程不顯含未知函數（p166）

2.不顯含自變量t的方程（p167）

3.齊次線性微分方程

4.3.2 冪級數解法（p173）

更多可參見書中p173

matlab解微分方程：

y

• p130例1：

matlab實現：

x=dsolve('D2x+x=1/cos(t)')x =C10*cos(t) + log(cos(t))*cos(t) + C11*sin(t) + t*sin(t)

與書中結果一樣。

• p130例2：

matlab實現：

>> x=dsolve('t*D2x-Dx=t^2')x =C16*t^2 + t^2*(t/3 + C15/(2*t^2))

• p154例13

matlab實現：（注意數乘符號*不能省）

x=dsolve('D2x+2*Dx+x=exp(t)','x(1)=Dx(01)=0')x =(t*exp(t))/2 - (exp(t)*(2*t - 1))/4 - (C30*exp(-t))/2 + C30*t*exp(-t)

2020.11.19

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab 定义一个有自变量的方程_常微分方程：（第四章） 高阶微分方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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