參考《常微分方程》第三版（王高雄）

常微分方程王高雄 第四章 高階微分方程_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?www.bilibili.com

對(duì)于高階微分方程，線性部分見4、5章，非線性部分見6章。

4.1 線性微分方程的一般理論

定義：線性微分方程分為非齊次微分方程和齊次微分方程

n階非齊次微分方程：

n階齊次微分方程：

其中系數(shù)及f（t）為閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)。

---

一.首先引進(jìn)一些本章常用到的定義：

1.朗斯基行列式（p122）

2.函數(shù)的線性相關(guān)&線性無關(guān)

3.基本解組（p126）

二.齊次線性方程基本性質(zhì)

a）存在唯一性定理

b）疊加原理

c） 函數(shù)線性相關(guān)性與朗斯基行列式的關(guān)系

d）方程解（函數(shù)）線性無關(guān)，則朗斯基行列式在區(qū)間上的任何一點(diǎn)都不為0

根據(jù)定理3和定理4可以知道，由n階齊次線性微分方程（4.2）的n個(gè)解構(gòu)成的朗斯基行列式或者恒等于零，或者在方程的系數(shù)為連續(xù)的區(qū)間內(nèi)處處不等于零

e）通解結(jié)構(gòu)定理

三.非齊次線性微分方程的基本性質(zhì)及常數(shù)變易法

a）齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程解之間的關(guān)系

b）常數(shù)變易法

設(shè)齊次線性微分方程的基本解組與通解如下：

則根據(jù)常數(shù)變易原理，可設(shè)非齊次線性微分方程的通解為：

則關(guān)鍵是確定

,最后得到方程的解如下形式：

具體證明及一個(gè)例子如下：

例子：

4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法

事實(shí)上，對(duì)于一般的線性微分方程是沒有普遍的解法的.本節(jié)介紹求解問題能夠徹底解決的一類方程——常系數(shù)線性微分方程及可以化為這一類型的方程.我們將看到，為了求得常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，只須解一個(gè)代數(shù)方程而不必通過積分運(yùn)算.對(duì)于某些特殊的非齊次線性微分方程也可以通過代數(shù)運(yùn)算和微分運(yùn)算求得它的通解，我們一定要記住常系數(shù)線性微分方程固有的這種簡單特性.

討論常系數(shù)線性微分方程的解法時(shí)，需要涉及實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)及復(fù)指數(shù)函數(shù)的問題。

4.2.1 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解

一.定義

a）首先給出復(fù)值函數(shù)的極限、連續(xù)、可微的概念

b）

的定義，其中

c）

的性質(zhì)（p135）

d）方程的復(fù)值解的性質(zhì)

4.2.2 常系數(shù)線性微分方程和歐拉方程

一. 齊次線性微分方程

設(shè)齊次線性微分方程中所有系數(shù)都是常數(shù)，即方程有如下形式：

由4.1的一般理論可知，為了求方程（4.19）的通解，只需要求出它的基本解組，求基本解組的一種很重要的方法—?dú)W拉待定指數(shù)函數(shù)法（特征根法）

（等價(jià)轉(zhuǎn)換）分析可知：

為方程（4.19）的解的充要條件為 是代數(shù)方程

的根。

稱（4.21）為（4.19）的特征方程，它的根就稱為特征根。對(duì)于特征根，下面根據(jù)不同的情形分別進(jìn)行討論：

（1）單根+實(shí)根

方程通解為：

（2）重根+實(shí)根（p140）

（4.25）和（4.26）全體n個(gè)解構(gòu)成方程（4.19）的基本解組。對(duì)所以基本解組進(jìn)行系數(shù)加權(quán)即得到通解。

（3）單根+復(fù)根

特征根為

和

（4）重根+復(fù)根（p141）：k->2k

二.歐拉方程（p142）

總結(jié)：歐拉方程通過自變量變換可轉(zhuǎn)化為常系數(shù)齊次線性微分方程，解的求法也類似可以得到

最后可化解為常系數(shù)齊次線性微分方程

而由前面的特征根法可知，方程（4.30）有形如

的解，又由變換可知 ，故 ，這一結(jié)果可作為求解歐拉方程的解的公式，即對(duì)于歐拉方程，我們?cè)O(shè)其解為

檢驗(yàn)：以

代入歐拉方程（4.29）【做題時(shí)直接這樣替換即可】，約去因子 ，就得到確定K的代數(shù)方程及實(shí)根下的m個(gè)解與復(fù)根下的2m個(gè)解。

下面通過例6進(jìn)一步理解：

4.2.3非齊次線性微分方程-比較系數(shù)法與拉普拉斯變換

前面4.1.3介紹了非齊次線性微分方程求解的常數(shù)變易法-即在已知齊次線性微分方程解的前提下，將常數(shù)加以自變量約定為非齊次的通解，微分求和，進(jìn)行化解，求出常數(shù)加自變量后的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而確定出常數(shù)加自變量的函數(shù)形式。。。上述步驟求解往往比較繁瑣。下面介紹當(dāng)f(t)具有某些特殊形狀時(shí)所適用的一些方法——比較系數(shù)法與拉普拉斯變換。它們的特點(diǎn)是不需通過積分而用代數(shù)方法即可求得非齊次線性微分方程的特解，即將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)代數(shù)問題來處理，因而比較簡便.

1.比較系數(shù)法

• 類型I（p145）

• 類型II（p148）

• 類型II的特殊情形（p150）

2.拉普拉斯變換（p150）

4.3 高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法

對(duì)于n階微分方程

4.3.1 可降階的一些方程類型

下面討論三類特殊方程的降階問題：

1.方程不顯含未知函數(shù)（p166）

2.不顯含自變量t的方程（p167）

3.齊次線性微分方程

4.3.2 冪級(jí)數(shù)解法（p173）

更多可參見書中p173

matlab解微分方程：

y

• p130例1：

matlab實(shí)現(xiàn)：

x=dsolve('D2x+x=1/cos(t)')x =C10*cos(t) + log(cos(t))*cos(t) + C11*sin(t) + t*sin(t)

與書中結(jié)果一樣。

• p130例2：

matlab實(shí)現(xiàn)：

>> x=dsolve('t*D2x-Dx=t^2')x =C16*t^2 + t^2*(t/3 + C15/(2*t^2))

• p154例13

matlab實(shí)現(xiàn)：（注意數(shù)乘符號(hào)*不能省）

x=dsolve('D2x+2*Dx+x=exp(t)','x(1)=Dx(01)=0')x =(t*exp(t))/2 - (exp(t)*(2*t - 1))/4 - (C30*exp(-t))/2 + C30*t*exp(-t)

2020.11.19

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab 定义一个有自变量的方程_常微分方程：（第四章） 高阶微分方程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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