1 矩陣及其運算

由$m\times n$個數$a_{ij}$排成的$m$行$n$列的數表稱為$m$行$n$列的矩陣，簡稱$m\times n$矩陣。記作：
$A=?\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}?$
這$m\times n$個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元。數$a_{ij}$位于矩陣A的第$i$行第$j$列，稱為矩陣A的$(i,j)$元，以數$a_{ij}$為$(i,j)$元的矩陣可記為$(a_{ij})$或$(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$m\times n$矩陣A也記作$A_{mn}$。

元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣。而行數與列數都等于$n$的矩陣稱為 $n$階矩陣或$n$階方陣。$n$階方陣中所有$i=j$的元素$a_{ij}$組成的斜線稱為 （主）對角線，所有$i+j=n+1$的元素$a_{ij}$組成的斜線稱為輔對角線。

1.1矩陣的基本運算

加法與減法

對于兩個同型（行列數一樣） 的矩陣A和B，加減法就是把對應$(i,j)$元做加減法運算。
例：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 4+0& 2+5\\ 2+7& 0+5& 0+0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right]?\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1?0& 4?0& 2?5\\ 2?7& 0?5& 0?0\end{array}\right]$

矩陣的加法運算滿足結合律和交換律：
$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$

數乘

矩陣的數乘是指一個數乘以一個矩陣，只要把這個數乘到每一個$(i,j)$元上。
例：
$2\times \left[\begin{array}{ccc}1& 8& ?3\\ 4& ?2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\times 1& 2\times 8& 2\times (?3)\\ 2\times 4& 2\times (?2)& 2\times 5\end{array}\right]$

矩陣的數乘滿足結合律和分配律：
$(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩陣的加法、減法、數乘運算合稱為矩陣的"線性"運算。

轉置

把矩陣A的行換成同序數的列所得到的新矩陣稱為A的轉置矩陣，這一過程稱為矩陣的轉置。
例：
${\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ 0& ?2& 8\end{array}\right]}^T=?\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& ?2\\ 3& 8\end{array}?$

矩陣的轉置滿足：
$(A^T{)}^T=A$
$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

共軛

對于復矩陣，其共軛矩陣定義為：$(A{)}_{i,j}=\overline{A_{i,j}}$。
例：
$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2?2i& i\end{array}\right]$

$\overline{A}=\left[\begin{array}{cc}3?i& 5\\ 2+2i& ?i\end{array}\right]$

共軛轉置

矩陣的共軛轉置定義為：$(A^{?}{)}_{i,j}=\overline{A_{j,i}}$，也可以寫成$A^{?}=(\overline{A}{)}^T=\overline{A^T}$。
例：
$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2?2i& i\end{array}\right]$

$A^{?}=\left[\begin{array}{cc}3?i& 2+2i\\ 5& ?i\end{array}\right]$

1.2矩陣的乘法運算

兩個矩陣的乘法運算僅當第一個矩陣A的列數和第二個矩陣B的行數相等時才能定義。
如A是$m\times n$矩陣、B是$n\times p$矩陣，它們的乘積C是一個$m\times p$矩陣$C=(c_{ij})$,它的任意一個元素值為：
$c_{i,j}=a_{i,1}{b}_{1,j}+a_{i,2}{b}_{2,j}+...+a_{i,n}{b}_{n,j}={\sum }_{r=1}^n{a}_{i,r}{b}_{r,j}$
并將此乘積記為$C=AB$

矩陣的乘法運算滿足結合律、左分配律、右分配律，但是不滿足交換律：
$(AB)C=A(BC)$
$(A+B)C=AC+BC$
$C(A+B)=CA+CB$
$AB=BA$

1.3矩陣的行列式

一個 $n\times n$的方陣A的行列式記為$det(A)$或者$|A|$，$det(A)={\sum }_P(?1{)}^{\mu (P)}{\prod }_{i=1}^n{a}_{i,P_i}$。
(枚舉排列$P[1...n]$ ,其中$\mu (P)$為排列$P$的逆序對數)

例：一個$2\times 2$矩陣的行列式可表示如下：
$det\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad?bc$

計算：
把一個$n$階行列式中的元素$a_{ij}$所在的第$i$行第$j$列劃去后，留下來的$n?1$階行列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，記做$M_{ij}$。記$A_{ij}=(?1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，叫做元素$a_{ij}$的代數余子式。
例：
$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$
$M_{23}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{14}\\ a_{31}& a_{32}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{44}\end{array}\right|$
$A_{23}=(?1{)}^{2+3}{M}_{23}=?M_{23}$

一個$n\times n$矩陣的行列式等于其任意行（或列）的元素與對應的代數余子式乘積之和，即：
$det(A)=a_{i1}{A}_{i1}+...a_{in}{A}_{in}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(?1{)}^{i+j}det(A_{ij})$

1.4矩陣的特殊類別

對角矩陣

定義：主對角線之外的元素皆為0的矩陣

三角矩陣

定義：分為上三角矩陣和下三角矩陣。上三角矩陣的對角線左下方的系數全部為0，下三角矩陣的對角線右上方的系數全部為0。
$U=?\begin{array}{ccccc}{u}_{1,1}& u_{1,2}& u_{1,3}& ...& u_{1,n}\\ 0& u_{2,2}& u_{2,3}& ...& u_{2,n}\\ 0& 0& ?& ?& ?\\ ?& ?& 0& ?& u_{n?1,n}\\ 0& 0& ...& 0& u_{n,n}\end{array}?$(如圖U為上三角矩陣)

性質與應用：

解多元線性方程組（高斯消元）

三角矩陣的行列式就是其對角線上元素的乘積

對稱矩陣

定義：對稱矩陣是一個方陣，其轉置矩陣和自身相等，即$A=A^T$。
性質與應用：對稱矩陣中關于主對角線對稱的每一對元素均相等
反對稱矩陣：滿足$A=?A^T$的方陣A

埃爾米特矩陣

定義：$n$階復方陣A的對稱單元互為共軛，即A的共軛轉置矩陣等于它本身，則A是埃爾米特矩陣。
例：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2+i\\ 2?i& 1\end{array}\right)$

性質與應用：

埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數，其特征值也是實數

如果埃爾米特矩陣的特征值都是正數，那么這個矩陣是正定矩陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定矩陣

注意：對于只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關于主對角線對稱，那么它也是埃爾米特矩陣（實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例）

正交矩陣

定義：A是一個 $n$階實矩陣，若$A^{T}A=E$(或$A{A}^T=E$)，則稱A為正交矩陣。

性質與應用：

如果A是一個正交矩陣，則$|A|=+1或?1$

A可逆，且其逆$A^{?1}$也是正交矩陣

$A^T和A^{?}$也是正交矩陣

$A^m(m為自然數)$也是正交矩陣

范德蒙矩陣

定義：一個各列呈現出幾何級數關系的矩陣
例：
$V=?\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& ...& a_1^{n?1}\\ 1& a_2& a_2^2& ...& a_2^{n?1}\\ ?& ?& ?& ?& ?\\ 1& a_m& a_m^2& ...& a_m^{n?1}\end{array}?$
或以第$i$行第$j$列的關系寫作：$V_{i,j}=a_i^{j?1}$

性質與應用：糾錯編碼

2 數字方陣

3 線性方程組及其解法

本文摘自《信息學奧賽之數學一本通》

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学知识总结——矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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