正題

P7519

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題目大意

n個隊伍，排名先按分數排序再按編號排序，每個隊伍有一個初始分數 $a_i$，和一個附加分數 $b_i$

對于一個合法的 $b_i$ 序列，按 $b_i$ 大小排序，從小到大把每個 $b_i$ 加進對應的 $a_i$ 中，且每個 $b_i$ 加入后對應的點會成為排名第一的點

現在告訴你所有 $b_i$ 的和 m，問你對于所有合法的 $b_i$，最后的排名有多少種

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解題思路

考慮狀壓DP，設 $f_{S,i,j,k}$ 為當前所有點是否添加的狀態為 $S$，最后添加的點為 $i$，$b_i=j$，已經加了的 $b$ 和為 $k$ 的方案數

直接轉移時間復雜度為 $O(2^n{n}^2{m}^2)$，會TLE

考慮到答案的計算之和最后的排名有關，也就是和加入 $b$ 的順序有關（下文所有順序都是指加入順序中的先后），那么對于一種加入順序，讓所有點的 $b_i$ 盡量小（除最后一個點）

因為 $b_i$ 是單調遞增的，所以考慮一個點加入 $b_i$ 時，讓后面點的 $b$ 都加上 $b_i$，那么就可以保證 $b_i$ 是單調遞增的

綜上，可以優化掉最后添加的點 $i$ 的附加值 $b_i$，那么設 $f_{S,i,k}$ 表示狀態為S，最后添加的點為 $i$ ，$b_i$ 的和為 $k$ ，然后直接轉移即可

時間復雜度 $O(2^n{n}^{2}m)$，因為很多狀態都跑不到，所以實際上能過

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define ll long long #define N 14 using namespace std; ll n,m,mx,sum,ans,a[N],f[1<<N][N][505]; int main() {scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",&a[i]);if(a[i]>a[mx])mx=i;}f[0][mx][0]=1;//要保證第一個點加到比最大的點大for(ll S=0;S<(1<<n)-1;++S){sum=0;for(ll i=1;i<=n;++i)if(!(S&(1<<i-1)))sum++;//計算后面有多少個點for(ll k=0;k<=m;++k)for(ll i=1;i<=n;++i) if(f[S][i][k])for(ll j=1;j<=n;++j)if(!(S&(1<<j-1)))if(k+sum*max(a[i]-a[j]+(j>i),0ll)<=m)f[S|(1<<j-1)][j][k+sum*max(a[i]-a[j]+(j>i),0ll)]+=f[S][i][k];}for(ll i=1;i<=n;++i)for(ll j=0;j<=m;++j)//多出來的部分放到最后一個點ans+=f[(1<<n)-1][i][j];printf("%lld",ans);return 0; }

總結

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