CF730E. Award Ceremony

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題目鏈接

題目大意：

給出 $n$ 個隊封榜時的榜單 $a_i$ 和揭榜時的變化情況 $d_i$。

揭榜時，這個隊的名次會變化 $t_i$。

注意在別的隊揭榜時，自己隊的排名也是動態變化的。

計算的變化名次是自己揭榜前后的名次差，而非最終排名與最初排名差。

然后問如何安排揭榜順序，使得 $sum(|t_i|)$ 最大。

$1\le n\le 100，1\le ai\le 100,?100\le di\le 100$。

solution

考慮兩兩隊伍之間的排名變化貢獻。

• 如果兩個隊伍揭榜前后相對排名順序發生變化，則無論怎么安排兩個隊伍的揭榜先后，答案貢獻都是 $1$。

  i.e. 假設 $i$ 排名在 $j$ 前面（$i<j$），揭榜后 $j$ 排名更靠前 $i>j$。

  有兩種情況。

  • $i$ 分數下降，$j$ 可能上升也可能下降，但 $i$ 一定下降地更猛。
    • 假設先揭榜 $i$ ，則 $i$ 排名變成 $j$ 后面，貢獻為 $1$，后面揭榜 $j$，依舊在 $i$ 之前。
    • 假設先揭榜 $j$，則 $j$ 可能已經超過 $i$ ，后面揭榜仍在 $i$ 前面；也可能還是沒有超過 $i$，但是 $i$ 揭榜后就掉在 $j$ 后面了。
  • $i$ 分數上升，$j$ 必須上升，且 $j$ 一定上升地更猛。假設揭榜過程與上面一樣。不再贅述。

• 如果兩個隊伍揭榜前后相對順序并未發生改變。則有兩種情況。

  • 不管先揭榜誰，都保持著 $i<j$。則對答案無貢獻。
  • $i$ 被 $j$ 超過后又再次超過了 $j$。答案就是 $2$。

按照上述方法會得到一個有向無環圖，根據拓撲排序就能得到揭曉的順序，但是本題并未做要求。

只要最終改變的最大值結果，那么就直接枚舉兩個隊伍，看屬于上面的哪種情況貢獻。計算即可。

時間復雜度為 $O(n^2)$。

證明這樣的做法得到的關系圖不存在環。

只有第二種情況的第二點，貢獻為 $2$，這種 case 會需要考慮兩個隊伍揭榜的先后順序。

即只有這種 case 才會在圖上增加一條邊，因此環只可能在這個地方產生。

假設三個隊伍 $i,j,k$ 構成環。

首先因為兩個隊伍之間有邊，所以有 $i$ 揭榜后能超過 $j$ ，然后又被 $j$ 揭榜后反超，這樣貢獻才為 $2$。

$(j,k),(k,i)$ 同樣也是如此。

即 $j$ 揭榜后超過 $k$ 又被 $k$ 反超，$k$ 揭榜后超過 $i$ 又被 $i$ 反超。

這三個揭榜順序必然是確定的，所以名次改變方向是固定的。

由 $(i,j)(j,k)$ 之間的關系就知道 $k$ 揭榜后超過 $i,j$ 不可能又讓 $i$ 再揭榜一次反超。

所以這個情況必然是如圖所示：

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 105 struct node { int val, id, tag;bool operator < ( node &t ) {return val == t.val ? id < t.id : val > t.val;} }a[maxn]; int n, ans;int calc( int x, int y ) {node lst_x = a[x], lst_y = a[y];node new_x = lst_x, new_y = lst_y;new_x.val += lst_x.tag;new_y.val += lst_y.tag;if( lst_x < lst_y and new_y < new_x ) return 1;if( lst_y < lst_x and new_x < new_y ) return 1;if( lst_x < lst_y and new_x < new_y and new_y < lst_x ) return 2;if( lst_x < lst_y and new_x < new_y and lst_y < new_x ) return 2;if( lst_y < lst_x and new_y < new_x and new_x < lst_y ) return 2;if( lst_y < lst_x and new_y < new_x and lst_x < new_y ) return 2;return 0; }int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d %d", &a[i].val, &a[i].tag ), a[i].id = i;sort( a + 1, a + n + 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = i + 1;j <= n;j ++ )ans += calc( i, j );printf( "%d\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CodeForces730E Award Ceremony（拓扑排序+结论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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