SP5971 LCMSUM - LCM Sum

思路

$$\sum _{i=1}^{n}lcm(i,n)$$

$$=>\sum _{i=1}^n\frac{in}{gcd(i,n)}$$

$$=>n\sum _{i=1}^n\frac{i}{gcd(i,n)}$$

我們按照P2303 [SDOI2012] Longge的思路枚舉$gcd(i,n)$

$$=>n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{d}(gcd(i,n)==1)$$

$$=>n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}i(gcd(i,\frac{n}{d})==1)$$

這個式子就熟悉了${\sum }_{i=1}^{n}i(gcd(i,n)==1)=\frac{n?(n)}{2}$，給定一個整數$n$小于$n$的數并且與$n$互質的數的和是這個式子，所以上式變成

$$=>=>n\sum _{d\mid n}\frac{d?(d)}{2}$$

所以我們只要枚舉$n$的約數就行了。

這里還存在一個問題，對于$gcd=d=1$的時候，我們統計的答案是沒用貢獻的，所以我們還要加上$lcm(1,n)=n$得到我們最后的答案，

這里我整體復雜度是$O(n)+T\sqrt{n}$，先用素數篩篩選出所有的$?(i)$，然后再每次計算答案。

第一道自己推出來的數學題，難得啊！！！

代碼

/*Author : lifehappy */ #pragma GCC optimize(2) #pragma GCC optimize(3) // #include <iostream> // #include <algorithm> // #include <stdlib.h> // #include <cmath> // #include <vector> // #include <cstdio> #include <bits/stdc++.h> #define mp make_pair #define pb push_back #define endl '\n'using namespace std;typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0); const double eps = 1e-7; const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x; }void print(ll x) {if(x < 10) {putchar(x + 48);return ;}print(x / 10);putchar(x % 10 + 48); }const int N = 1e6 + 10;int eular[N], n;vector<int> prime;bool st[N];void init() {st[0] = st[1] = 1;eular[1] = 1;for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) {prime.pb(i);eular[i] = i - 1;}for(int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]) {eular[i * prime[j]] = eular[i] * (prime[j] - 1);}else {eular[i * prime[j]] = eular[i] * prime[j];break;}}} }int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);init();int T = read();while(T--) {int n = read();ll ans = 0;for(int i = 1; i * i <= n; i++) {if(n % i == 0) {ans += 1ll * i * eular[i] / 2;if(i * i != n) {ans += 1ll * n / i * eular[n / i] / 2;}}cout << ans << endl;}printf("%lld\n", 1ll * n * ans + n);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的SP5971 LCMSUM - LCM Sum的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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