什么是 trajectory(路徑)規(guī)劃

中文路徑在英語中可能有兩種翻譯：

1. path

2. trajectory

首先告訴大家，我們所說的“路徑”是后者——trajectory。我們看一下這兩種“路徑”在機(jī)械臂的世界里有什么區(qū)別。

設(shè)想機(jī)械臂的?end-effector?要從?A?點(diǎn)運(yùn)動到?B?點(diǎn)：

從?A?到?B?叫?path：

如果我們規(guī)定從?A?到?B?這個(gè)?path，必須在特定的時(shí)間(t0?–?t6)，經(jīng)過這?7?個(gè)點(diǎn)。

那么這?7?個(gè)點(diǎn)叫?waypoints。路徑(trajectory)指的是通過這?7?個(gè)點(diǎn)的具體計(jì)劃(例如什么時(shí)間，以什么速度等等)。規(guī)劃我們?nèi)绾谓?jīng)過這?7?個(gè)點(diǎn)的算法，叫做路徑規(guī)劃(trajectory?planning)算法。

上面這?7?個(gè)點(diǎn)，如果機(jī)械臂的?end-effector?在通過的時(shí)候，位置連續(xù)、速度連續(xù)、甚至加速度也是連續(xù)的，那么我們說這個(gè) trajectory 是平滑的(smooth)。?

機(jī)械臂中有幾種比較常見的?trajectory：

Trapezoidal Trajectories(梯形路徑)

梯形路徑指的是：

end-effector?在相鄰?waypoints?之間的速度是象梯形一樣，先線性加速，然后速度保持不變，在接近目標(biāo)后線性減速。梯形路徑的優(yōu)點(diǎn)是比較簡單實(shí)用，但是在每個(gè)?waypoint?會有停頓。下圖是一個(gè)機(jī)械臂走梯形路徑的樣例：在過?waypoints?的時(shí)候，會完全停止，所以走的是直線，速度和加速度肯定不連續(xù)。

Polynomial Trajectories(多項(xiàng)式路徑)

其中又分三次多項(xiàng)式和五次多項(xiàng)式。分別寫作：

三次多項(xiàng)式可以記錄?end-effector?的速度、位置的信息。五次多項(xiàng)式可以記錄?end-effector?的位置、速度、加速度的信息。下圖是一個(gè)五次多項(xiàng)式的例子，可以看到速度、加速度都是連續(xù)的。三次或者五次多項(xiàng)式的?trajectory?在通過?waypoints?的時(shí)候速度都是連續(xù)的，這和梯形路徑是不一樣的。

下圖是一個(gè)機(jī)械臂走五次多項(xiàng)式路徑的樣例：為了保證過?waypoints?的時(shí)候速度不停頓，走的是曲線。

B-splines(B樣條曲線)

B 樣條曲線將除了起始點(diǎn)和終點(diǎn)外，將其他的 waypoints 看成是控制點(diǎn)(control?points)。機(jī)械臂的?end-effector?并不會真正通過這些?control?points，而在他們之間找一條平滑的曲線。這樣做的目的是在平滑加速度和曲線擬合的準(zhǔn)確性之間找一個(gè)折衷方法。

(圖片來自于Wikipedia)

如果一個(gè)?trajectory?只有這?7?個(gè)點(diǎn)，無論機(jī)械臂控制器的運(yùn)動控制模塊如何強(qiáng)大，都無法保證做到“平滑”的運(yùn)行。我們必須對路徑點(diǎn)進(jìn)行插值(interpolation)。

下圖的橙色點(diǎn)為插值點(diǎn)示意：

在了解插值后，我們來看一下路徑規(guī)劃出來的信息如何和傳遞到反向運(yùn)動學(xué)(inverse?kinematics)。反向運(yùn)動學(xué)模塊將確保end-effector按照規(guī)劃出來的路徑運(yùn)行，即路徑跟隨(trajectory?following)。

這里，我們按插值類型情況分兩種模式：

1. Trajectory interpolated in task space

在這種模式下，中間插值的點(diǎn)是在?task?space(即?XYZ?坐標(biāo)系，或者叫笛卡爾坐標(biāo)系)進(jìn)行插值。下圖表明了這一過程，這時(shí)候?trajectory?generation?只需要做一次，產(chǎn)生所有的?waypoints?和?interpolation?points?(插值點(diǎn))。然后運(yùn)動控制系統(tǒng)在每個(gè)控制周期都必須調(diào)用?inverse?kinematics?算法去做路徑跟隨(trajectory?following)。

2. Trajectory interpolated in joint space

在這種模式下，中間插值點(diǎn)的點(diǎn)是在?joint?space(即對關(guān)節(jié)角度插值)。下圖表明了這一過程。這時(shí)候?trajectory?generation?也只需要做一次，但做的過程和?task?space?的做法不同。即在每一個(gè)?waypoint?調(diào)用一次?inverse?kinematics，然后對關(guān)節(jié)角度的進(jìn)行插值。Trajectory?following?模塊只需執(zhí)行插值后的角度指令。

角度方向插值?(orientation interpolation)

我們剛才談到的插值，都是針對?end-effector?的位置(position，即?XYZ?的坐標(biāo))。我們不應(yīng)該忽略?end-effector?的角度方向(orientation)插值。我們看一段動畫來了解一下，什么是?orientation?的插值：

可以看到，隨著?end-effector?的移動，它的方向也在不斷做出平滑的調(diào)整，在?end-effector?運(yùn)行到目標(biāo)位置后，它的方向也調(diào)整到位。當(dāng)然，有很多場合角度方向是不需要調(diào)整的。例如：噴漆機(jī)械臂，永遠(yuǎn)將?end-effector?指向噴漆作業(yè)面。

MATLAB 中的機(jī)械臂路徑規(guī)劃算法

在?R2019a 發(fā)布后?Robotics?System?Toolbox?(RST)?中多了幾個(gè)機(jī)械臂路徑規(guī)劃的?MATLAB?函數(shù)和?Simulink?模塊。

MATLAB?函數(shù)：

Simulink?模塊：

不管是?MATLAB?函數(shù)還是類似?Simulink?block，大概這么幾項(xiàng)功能：

• 生成梯形或者多項(xiàng)式的位置 trajectory

• 生成角度方向的 trajectory

• 將上兩者合二為一的生成既包含位置，也包含角度方向(合稱?pose)的?trajectory——即基于?homogeneous?transforms?的? pose?trajectory。

讓我們寫幾行代碼，來產(chǎn)生一個(gè)三次多項(xiàng)式的?trajectory：

可以看到，位置是連續(xù)的。如果我們將速度?(qd)、加速度?(qdd)?畫出來，可以看到?qdd?是不連續(xù)的。

Simulink示例

在?MATLAB?file?exchange?里搜索?“Trajectory?Planning?for?Robot Manipulators”，會找到一個(gè)用多種方式產(chǎn)生?trajectory?的例子。

用一張表格總結(jié)如下：

這里有兩點(diǎn)值得注意：

無論是?MATLAB?函數(shù)還是?Simulink?block，所有角度方向的插值都是基于?SLERP?(spherical?linear?interpolation)。這是一種基于四元數(shù)(quaternions)的插值法。不會造成下圖所示的“不走近路，繞遠(yuǎn)路”的問題。例如，角度要從?0?度轉(zhuǎn)到?30?度。因?yàn)閳A周是?360?度，錯誤的方式是從?0?度轉(zhuǎn)到?330?度?–?雖然也能到達(dá)指定位置或者角度，但它是錯誤的。在manipJointTrajectory?模型中，因?yàn)橛玫搅嘶?joint?space(關(guān)節(jié)角度)的插值，讀者可以注意一下如何處理這個(gè)問題。

Time-scaling。在?manipTransformTrajectoryTimeScaling?模型中，如果不加?time?scaling?這個(gè)模塊，那么所有的角度變化和位置變化都是基于線性插值。如果加入了?“想要的”?速度、加速度信息?---即?time?scaling。我們可以使角度變化和位置變化按照我們想要的梯形或者多項(xiàng)式形式去調(diào)整。例如，我想讓角度一開始不變，然后快速變化，最后速度為0。

來源：Matlab

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總結(jié)

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