參考資料

《精通MATLAB最優化計算（第二版）》

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Matlab 2019a

目錄

石中居士：最優化計算與Matlab實現——目錄?zhuanlan.zhihu.com

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權重改進的粒子群算法

在微粒群算法的可調整參數中，慣性權重

是最重要的參數，較大的 有利于提高算法的全局搜索能力，而較小的 會增強算法的局部搜索能力，根據不同的權重變化公式，可得到不同的PSO算法，常見的有線性遞減權重法、自適應權重法、隨機權重法。

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線性遞減權重法

• 原理

由于較大的慣性因子有利于跳出局部極小點，便于全局搜索，而較小的慣性因子則有利于對當前的搜索區域進行精確局部搜索，以利于算法收斂，因此針對PSO算法容易早熟以及算法后期易在全局最優解附近產生振蕩現象，可以采用線性變化的權重，讓慣性權重從最大值

線性減小到最小值 ， 隨算法迭代次數的變化公式為：

其中，

、 分別表示 的最大值和最小值， 表示當前迭代步數， 表示最大迭代步數，通常取 。

• 算法步驟

線性遞減粒子群算法的基本步驟如下：

【1】隨機初始化種群中各微粒的位置和速度；

【2】評價每個微粒的適應度，將當前各微粒的位置和適應值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中適應值最優個體的位置和適應值存儲于gbest中；

【3】用下式更新粒子的速度和位移：

【4】更新權重

；

【5】對每個微粒，將其適應值與其經歷過的最好位置作比較，如果較好，則將其作為當前的最好位置；比較當前所有pbest和gbest的值，更新gbest；

【6】若滿足停止條件（通常為預設的運算精度或迭代次數），搜索停止，輸出結果，否則返回【3】繼續搜索。

• Matlab代碼與試算

用線性遞減權重的粒子群算法求函數

的最小值。其中粒子數取40，學習因子都取2，最大權重取0.9，最小權重取0.4，迭代步數取10000。

解：此函數的最小點為

，最小值為 。

建立目標函數文件fitness.m

fitness.m

function

test.m

[

LDW_PSO.m

function

命令行窗口

x_optimization

對于本例題中的函數而言，用線性遞減權重的粒子群算法求得了非常精確的最優點。但是在實際問題中，對于不同問題，其每次迭代所需的比例關系并不相同，所以

的線性遞減只對某些問題很有效。

此外，如果在進化初期搜索不到最優點，隨著

的逐漸減小，算法局部收斂能力加強，容易陷入局部最優；如果在進化初期探測到次好點，這時 的相對取小就可使算法很快搜索到最優點，而 的線性遞減降低了算法的收斂速度。

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自適應權重法

• 原理

為了平衡PSO算法的全局搜索能力和局部改良能力，還可采用非線性的動態慣性權重系數公式，其表達式如下：

其中

分別表示 的最大值和最小值， 表示粒子當前的目標函數值， 和 分別表示當前所有微粒的平均目標值和最小目標值。在上式中，慣性權重隨著微粒的目標函數值而自動改變，因此稱為自適應權重。

當各微粒的目標值趨于一致或者趨于局部最優時，將使慣性權重增加，而各微粒的目標值比較分散時，將使慣性權重減小，同時對于目標函數值優于平均目標值的微粒，其對應的慣性權重因子較小，從而保護了該微粒，反之對于目標函數值差于平均目標值的微粒，其對應的慣性權重因子較大，使得該微粒向較好的搜索區域靠攏。

• 算法步驟

自適應權重粒子群算法的基本步驟如下：

【1】隨機初始化種群中各微粒的位置和速度；

【2】評價每個微粒的適應度，將當前各微粒的位置和適應值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中適應值最優個體的位置和適應值存儲于gbest中；

【3】用下式更新粒子的速度和位移：

【4】更新權重

【5】對每個微粒，將其適應值與其經歷過的最好位置作比較，如果較好，則將其作為當前的最好位置；比較當前所有pbest和gbest的值，更新gbest；

【6】若滿足停止條件（通常為預設的運算精度或迭代次數），搜索停止，輸出結果，否則返回【3】繼續搜索。

• Matlab代碼與試算

用自適應權重的粒子群算法求函數

的最小值。取粒子數為40，學習因子都取2，最大慣性權重取0.9，最小慣性權重取0.6，迭代步數取10000。

解：建立fitness.m文件

fitness.m

function

test.m

[

AW_PSO.m

function

命令行窗口

x_optimization =1.0e-06 *0.172784775909731-0.008767853535804f_optimization =0

本例題中的函數的最小點為

，最小值為0，自適應權重的粒子群算法求得的結果的精度還是可以的。

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隨機權重法

• 原理

將PSO算法中設定

為服從某種隨機分布的隨機數，這樣一定程度上可從兩方面來克服 的線性遞減所帶來的不足。

首先，如果在進化初期接近最好點，隨機

可能產生相對小的 值，加快算法的收斂速度，另外，如果在算法初期找不到最好點， 的線性遞減，使得算法最終收斂不到此最好點，而 的隨機生成可以克服這種局限。

計算公式如下：

其中

表示標準正態分布的隨機數， 表示0到1之間的隨機數。

• 算法步驟

隨機權重粒子群算法的基本步驟如下：

【1】隨機初始化種群中各微粒的位置和速度；

【2】評價每個微粒的適應度，將當前各微粒的位置和適應值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中適應值最優個體的位置和適應值存儲于gbest中；

【3】用下式更新粒子的速度和位移：

【4】更新權重

【5】對每個微粒，將其適應值與其經歷過的最好位置作比較，如果較好，則將其作為當前的最好位置；比較當前所有pbest和gbest的值，更新gbest；

【6】若滿足停止條件（通常為預設的運算精度或迭代次數），搜索停止，輸出結果，否則返回【3】繼續搜索。

• Matlab代碼與試算

求下面函數的最小值

取粒子數為40，學習因子都取2，隨機權重平均值的最大值取0.8，隨機權重平均值的最小值取0.5，隨機權重平均值的方差取0.2，迭代步數取10000。

解：首先建立目標函數文件fitness.m文件

fitness.m

function

test.m

[

RW_PSO.m

function

命令行窗口

x_optimization =-0.0898420111454120.712656402204421f_optimization =-1.031628453489878

本題中的函數的理論最小點有兩個，分別為

和 ，最小值為 ，隨機權重的粒子群算法求得的結果精度還可以。

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總結

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