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    • • 生成樹
    • 根樹

無向樹

無向樹即 連通無回路 的無向圖。

無向樹中的結(jié)點分為兩類：樹葉（度為1）、分支點（度大于1）。

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無向樹的性質(zhì)

• n階非平凡的無向樹至少有兩片樹葉。
• 階大于等于3的樹必有割點。
• 樹中分支點必為割點，樹中邊均為橋。 去掉任意一條邊都會使圖不再連通。
• 含有$n$個頂點的樹，邊的數(shù)目為$n?1$，度數(shù)為$2(n?1)$.
• 樹中至少有一個頂點的度為1

若$G$為$n$階$m$條邊的無向連通圖，則$m\ge n?1$.
即樹是最弱的無向連通圖。

生成樹

任何無向連通圖都存在生成樹。

定理：無向圖$G$有生成樹 $?$ $G$是連通圖

無向連通圖中的邊可分為兩類：參與構成生成樹的樹枝、不參與構成生成樹的弦（參與構成余樹）。

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對于含$m$條邊的$n$階無向連通圖，其生成樹的邊的數(shù)目為$n?1$，弦的數(shù)目為$m?(n?1)$.

注意：余樹不一定連通，也不一定含有回路，因此余樹不一定是樹。

連通圖和它的生成樹的差別在于圖中可能包含回路，生成樹中不包含回路。
一般情況下，連通圖的生成樹不唯一。
凱萊公式：$K_n的生成樹的個數(shù)為n^{n?2}$.

因此對于含$m$條邊的$n$階無向連通圖，其$m?(n?1)$條弦可構成$m?(n?1)$個基本回路，所有基本回路構成的集合稱為基本回路系統(tǒng) ，$m?(n?1)$稱為圈秩。

注意：基本割集是針對整個圖而言的。
基本割集中僅含一條樹枝，其余均為弦。
求基本割集的簡單方法：取生成樹中的某一樹枝，將該樹枝所連個兩個“連通分量”圈出，則整個圖中溝通這兩個集合的所有邊即構成基本割集。

每個樹枝唯一對應一個基本割集，因此基本割集的數(shù)目與樹枝數(shù)目相同，為$n?1$，稱為割集秩。

根樹

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$$r叉樹\to r叉正則樹\to r叉完全樹$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学8：树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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