离散数学-函数
1.函數的基本概念
函數：令X、Y是集合，f是從X到Y的關系，如果對于任何x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f,則稱f是從X到Y的函數（變換、映射），記作f:X->Y,或
自變元與函數值（像源與映像）：f:X->Y,如果<x,y>∈f，則稱x是自變元（像源），稱y是x的函數值（映像）。
A={1,2,3}上的幾個關系，哪些是A到A的函數。
函數關系圖的特點：
每個結點均有且僅有一條往外法的弧線（包括環）。
函數關系矩陣的特點：
每行均有且僅有一個1
定義域、值域和陪域（共域）：f:X->Y
f的定義域(domain):記作dom f或Df
f的值域(range):記作ran f或f(X)
f的陪域，Y稱之為f的陪域
下面是大家熟悉的實數集合上的幾個關系，哪些是R到R的函數？
1.x不能等于0，所以不是
2.x=1時，y有兩個值對應。不是
3.是
4.不是，x<=0沒有y對應
5.不是，x<0沒有y對應
判斷是否是函數的時候一定要注意，定義域里面的所有x值都有y值與之對應，并且y值是唯一的。
兩個函數相等
設有兩個函數f:A->B,g:C->D,f=g當且僅當A=C,B=D,且對任何x∈A，有f(x)=g(x)
即它們的定義域、陪域相等、映射也相同。
2.特殊函數
常值函數:函數f:X->Y,如果存在y0∈Y,使得對任意x∈X，均有f(x)=y0，即
ranf={y0},則稱f是常值函數
2.恒等函數：恒等關系Ix是X到X的函數，即Ix:X->X,稱之為恒等函數
顯然對于任意的x∈X,有Ix(x)=x
3.函數的映射類型
滿射的：f:X->Y是函數，如果對于任意的y∈Y,都存在x∈X，使得f(x)=y,則稱f是滿射的。即滿射函數的值域Rf=Y.
映內的：f:X->Y是函數，如果Rf?Y，則稱f是映內的
滿射函數的關系矩陣：每行有且僅有一個1并且每列至少有一個1.（這時自變量的數量要大于等于因變量的數量）
3.入射的：f:X->Y是函數，對于任何x1,x2∈X,如果x1≠fx2,均有f(x1)≠f(x2),或者若f(x1)=f(x2),則x1=x2
則稱f是入射的（單射的，一對一的）
（這時自變量的數量要小于等于因變量的數量，否則就會存在多對一）
4.雙射的：f:X->Y是函數，如果f既是滿射的，又是入射的，則稱f是雙射的，也稱f是一一對應的。
判斷下列函數的類型
定理：令X,Y為有限集合，若X和Y的元素個數相等，則f:X->Y是入射的，當且僅當它是滿射的。
在X,Y為有限集合時，只要f是入射或滿射，則f雙射。
函數的復合運算
由于函數是特殊的關系，函數的復合運算定義為：
注意：這里把g寫在f的左邊了，所以叫做左復合，這樣寫是為了照顧數學習慣。
定義：兩個函數的復合仍然是一個函數
求函數復合運算的方法
與求關系復合運算的方法相同，可以直接過河拆橋，或者用關系圖或者關系矩陣去求，但要注意寫成左復合
函數復合運算的性質：
定理2：函數的復合運算滿足可結合性
證明：與關系的復合有可結合性的證明類似，但要注意，要用函數相等的定義去證明。
函數的逆運算
關系逆運算的定義：設R?X X Y
看下面的例子：
顯然f-1不是函數。
可見如果一個函數不是雙射的，它的逆就不是函數。
逆函數定義
2.性質
總結
