全部筆記的匯總貼（視頻也有傳送門）：中科大-凸優化

$$?f^T(x^{?})(y?x)\ge 0$$線性規劃的解在邊界上

一、等價變換

例：食譜問題

選擇食譜，使得$m$種營養元素分別不小于$b_1,?,b_m$

有$n$種食物，單位食物營養為$a_{1j},a_{2j},?,a_{mj},?j=1,?,n$

目標：單位食物價格$C_j$，找出總價最小的食譜

設食物量分別為$x_1,?,x_n$
$$\begin{gathered} min\sum _{j=1}^n{C}_j{x}_j \\ s.t.\sum _{j=1}^m{C}_{ij}{x}_j\ge b_j,i=1,?,m,x_j\ge 0,j=1,?,n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} min[C_1,?,C_n]?\begin{array}{c}{x}_1\\ ?\\ x_n\end{array}? \\ s.t.?\begin{array}{c}{a}_{11}?a_{1n}\\ ??\\ a_{m1}?a_{mn}\end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ ?\\ x_n\end{array}?=?\begin{array}{c}{b}_1\\ ?\\ b_m\end{array}?,?\begin{array}{c}{x}_1\\ ?\\ x_n\end{array}?\ge 0 \end{gathered}$$

例：線性分數規劃（linear fractional programing）

（$P_0$）$\min f_0(x)$線性分數函數（凸×擬凸√）$f_0(x)=\frac{C^{T}x+d}{e^{T}x+f}dom{f}_0=\{x|e^{T}x+f>0\}$
$s.t.Gx\le h,Ax=b$
不是標準的凸問題，需要轉化

$?（P_1）$
$\min C^{T}y+dz$
$s.t.Gy?hz\le 0,e^{T}x+fz=1,Ay?bz=0,z\ge 0（z>0等價）$

證明
（1）若$x$在$P_0$可行，$y=\frac{x}{e^{T}x+f},z==\frac{1}{e^{T}x+f}$
$$?\begin{array}{l}Gx\le h\\ Ax=b\\ e^{T}x+f>0\end{array}$$
$$Gy?hz=\frac{Gx?h}{e^T+f}\le 0,e^{T}x+fz=\frac{e^{T}x+f}{e^{T}x+f}=1,Ay?bz=\frac{Ax?b}{e^{T}x+f}=0z\le 0$$
$$c^{T}y+dz=\frac{c^{T}x+d}{e^{T}x+f}=f_0(x)$$
（2）若$y,z$在$P_1$種可行，若$z>0$，則$x=\frac{y}{z}$，則$x$在$P_0$中可行且兩問題目標函數值相同。
（3）（在下一小結講，筆記也做在這里算了）
若$y,z$在$P_1$中可行，若$z=0$，設$x_0$為$P_0$的可行解
則$x=x_0+ty$對$P_0$可行，$?t\ge 0$
$$\begin{gathered} Gy\le 0,Ay=0,e^{T}y=1 \\ Gx=G{x}_0+Gy\le h \\ Ax=A{x}_0+tAh=b \\ {e}^{T}x+f=e^T{x}_0+f+t{e}^{T}y>0 \\ {f}_0(x)=f_0(x_0+ty)=\frac{C^T{x}_0+C^{T}ty+d}{e^T{x}_0+e^{T}y+f}=(t\to \infty )C^{T}y \end{gathered}$$

下一章傳送門：中科大-凸優化 筆記（lec26）-二次規劃

總結

以上是生活随笔為你收集整理的中科大-凸优化 笔记（lec25）-等价变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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