??此文章為從二叉樹到紅黑樹系列文章的第六節(jié)，主要介紹介紹紅黑樹，相信，有了之前BST，AVL和B樹的鋪墊，你會很快地理解紅黑樹。但紅黑樹的情況也十分復雜，因此，推薦分兩天來看紅黑樹。一天看插入，一天看刪除。

文章目錄

• 一、所有文章鏈接~（點擊右邊波浪線可以返回目錄）
• • 理解紅黑樹之前，需要了解的知識點：~
• 二、引入紅黑樹~
• 三、紅黑樹的性質~
• • 1.紅黑樹的外部節(jié)點~
  • 2.紅黑樹的性質~
  • • 紅黑樹性質解讀~
  • 3.紅黑樹的適度平衡~
  • 4.紅黑樹與B樹（2,4）樹的關系（提升變換）~
  • • 提升變換的四種組合~
• 四、紅黑樹類~
• • （一）定義變量和接口~
  • • 1.利用已有的變量~
    • 2.需要的接口~
    • 3.重要輔助函數(shù)~
    • • （1）重寫高度更新算法~
      • （2）雙紅，雙黑缺陷~
    • 4.類內輔助靜態(tài)函數(shù)~
    • 5.RedBlack.h~
  • （二）高度更新~
  • • 高度更新代碼~
  • （三）紅黑樹的插入代碼~
  • （四）雙紅修復~
  • • 1) u為黑色~
    • • a) LL型~
      • b) RR型~
      • c) LR型~
      • d) RL型~
    • 2) u為紅色~
    • • a) LL型~
      • b) RR型~
      • c) LR型~
      • d) RL型~
    • 3) 求當前節(jié)點的叔叔代碼~
    • 4) 雙紅修復代碼遞歸版~
    • 5) 雙紅修復代碼迭代版~
    • 6) 雙紅修復的復雜度~
  • （五）紅黑樹的刪除~
  • • 1.再探removeAt語義~
    • • （1）removeAt的第一種和第二種情況~
      • （2）removeAt的第三種情況~
      • （3）結論~
      • （4）removeAt其他細節(jié)~
    • 2.紅黑樹的刪除~
    • • （1）刪除情況分析~
      • （2）刪除代碼~
      • （3）判斷黑高度是否平衡代碼~
  • （六）雙黑缺陷~
  • • （1）s為黑，其至少有一個紅孩子~
    • （2）s為黑，s的兩個孩子為黑，p為紅~
    • （3）s為黑，s的兩個孩子為黑，p為黑~
    • （4）s為紅，s的兩個孩子必然為黑，p必然為黑~
    • （5）雙黑修復遞歸版~
    • （6）雙黑修復迭代版~
    • （7）雙黑修復復雜度~
• 五、完整RedBlack.h~
• 六、紅黑樹測試~
• • 1.插入測試代碼~
  • 2.插入測試圖示~
  • 3.刪除測試代碼~
  • 4.刪除測試圖示~
• 七、結語~

一、所有文章鏈接~（點擊右邊波浪線可以返回目錄）

??在閱讀本文前，強烈建議你看下前面的文章的目錄、前言以及基本介紹，否則你無法理解后面的內容。鏈接如下：

基本二叉樹節(jié)點，通用函數(shù) 二叉樹節(jié)點

基本二叉樹類的定義和實現(xiàn) 二叉樹基類

BST（二叉搜索樹的實現(xiàn)） BST

AVL（二叉平衡搜索樹的實現(xiàn)）AVL

B樹的實現(xiàn)（如果你只想了解B樹，可以跳過所有章節(jié)，直接看B樹，B樹的理解是紅黑樹的基礎）B樹

紅黑樹的實現(xiàn) RedBlack

理解紅黑樹之前，需要了解的知識點：~

在本系列文章第三部分BST中的刪除的基本原理

在本系列文章第四部分AVL中的connect34和rotateAt的基本原理

在本系列文章第五部分B樹中的插入和刪除，上溢和下溢的基本原理

如果你還不了解，那么看接下來的內容，你可能會有點吃力。

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二、引入紅黑樹~

??AVL樹盡管可以保證最壞情況下的單次操作速度，但需在節(jié)點中嵌入平衡因子等標識；更重要的是，刪除操作之后的重平衡可能需做多達?log2n?次旋轉，從而頻繁地導致全樹整體拓撲結構的大幅度變化。

??紅黑樹即是針對后一不足的改進。通過為節(jié)點指定顏色，并巧妙地動態(tài)調整，紅黑樹可保證：在每次插入或刪除操作之后的重平衡過程中，全樹拓撲結構的更新僅涉及常數(shù)個節(jié)點。

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三、紅黑樹的性質~

1.紅黑樹的外部節(jié)點~

??一棵樹，所有葉節(jié)點都有空孩子指針，因此，為了方便理解，可以將這些空孩子指針全部視為外部節(jié)點。即假想地加入外部節(jié)點（實際并沒有加入），使得樹中任何節(jié)點都可以視為有左右孩子。

??下面是一顆紅黑樹

??若按1中給這顆樹增加外部節(jié)點，就可以得到

2.紅黑樹的性質~

??提示：如果你看紅黑樹的算法，感到某些地方不好理解時，不妨來看看紅黑樹的性質，你就會明白算法為什么要這么設計。

由紅、黑兩色節(jié)點組成的二叉搜索樹若滿足以下條件，即為紅黑樹

(1) 樹根始終為黑色
(2) 外部節(jié)點均為黑色（NULL LEAF）（假想，實際不存在）
(3) 其余節(jié)點若為紅色，則其孩子節(jié)點必為黑色，反之，其父親也必然為黑色。
(4) 從根節(jié)點到任一外部節(jié)點的沿途，黑節(jié)點的數(shù)目相等（黑深度相等）

紅黑樹性質解讀~

由條件（1）（2）可知，紅節(jié)點必然為內部節(jié)點。

由條件（3）可知紅節(jié)點的孩子和父親必然為黑色。即樹中任何一條通路中絕對不可能有相鄰的紅節(jié)點。

由以上兩個分析可知，在從根節(jié)點通往任一節(jié)點的沿途，黑節(jié)點都不少于紅節(jié)點。

從根節(jié)點到任意節(jié)點所經的黑節(jié)點數(shù)目稱為該節(jié)點的黑深度（由上往下）。（根節(jié)點黑深度為0）。由條件（4）可知，所有外部節(jié)點的黑深度必然相等。

從外部節(jié)點到內部任意節(jié)點，所經的黑節(jié)點的個數(shù)的最大值，稱之為這個內部節(jié)點的黑高度（由下往上）。因此，外部節(jié)點的黑高度為0，根節(jié)點的黑高度等于外部節(jié)點的黑深度。

由以上可以得知，任意一個節(jié)點，其左右子樹的黑高度都必然相等。

3.紅黑樹的適度平衡~

??由2中的紅黑樹的性質解讀的第三條，可以得知

在從根節(jié)點通往任一節(jié)點的沿途，黑節(jié)點都不少于紅節(jié)點。

??而一棵樹，就是由紅節(jié)點和黑節(jié)點組成，這樣就代表，黑節(jié)點的數(shù)目，至少比全樹所有節(jié)點的數(shù)目的一半大。而這一點，恰恰就是紅黑樹適度平衡的條件。

TB為黑高度（H），T為全樹的高度（h）。

更嚴格的有l(wèi)og2(n + 1) <= h <=2?log2(n + 1)（證明略）

??盡管紅黑樹不能如完全樹那樣可做到理想平衡，也不如AVL樹那樣可做到較嚴格的適度平衡，但其高度仍控制在最小高度的兩倍以內，從漸進的角度看仍是O(logn)，依然保證了適度平衡—這正是紅黑樹可高效率支持各種操作的基礎。

4.紅黑樹與B樹（2,4）樹的關系（提升變換）~

??往下看之前，建議你理解一下B樹的上溢和下溢。不懂的就看看本系列文章的第五部分，我對B樹進行了詳解。

??在后面就可以得知，經適當轉換之后，紅黑樹和（2,4）樹相互等價！
??具體地，自頂而下逐層考查紅黑樹各節(jié)點。每遇到一個紅節(jié)點，都將對應的子樹整體提升一層，從而與其父節(jié)點（必黑）水平對齊，二者之間的聯(lián)邊則相應地調整為橫向。
???????????????
??由紅黑樹的性質（3）可得，對于有紅孩子的黑節(jié)點而言，提升過程中，所涉及的節(jié)點至多不超過3個（可能為2個，當只有一個紅孩子時），因為其最多只有兩個紅孩子，而對應的紅孩子必然只有黑孫子，沒有紅孫子。

??因此由變換之后的結果可以觀察到，可以把變換之后的3個節(jié)點（或2個節(jié)點）看做一個整體，其恰好可以構成4階B樹（3個關鍵碼）中的一個節(jié)點。因此，變換之后，每一顆紅黑樹都對應一顆（2,4）樹。

提升變換的四種組合~

1、 通往黑節(jié)點的邊對紅黑樹的黑高度有貢獻，以實線表示，保留下來。
2、 通往紅節(jié)點的邊對紅黑樹的黑高度沒有貢獻，以虛線表示，不予保留。

下圖中，上方是紅黑樹，下方是對應的B樹。

??從上圖可以看出，對應的（2,4）B樹。每個節(jié)點有且僅有一個黑色的關鍵碼，同時紅色的關鍵碼不超過兩個，若某個節(jié)點果真包含兩個紅關鍵碼，則黑關鍵碼的位置必然居中。

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四、紅黑樹類~

（一）定義變量和接口~

1.利用已有的變量~

在第一部分定義二叉樹節(jié)點的時候，我們定義了一個

RBColor _color;//紅黑樹專用

這個枚舉類，主要是用于表示紅黑樹的顏色信息。具體為

namespace {enum class RBColor { RED, BLACK }; }

并且同樣，我們會用到在BST定義的_hot節(jié)點

BinNodePtr _hot;//"命中節(jié)點"的"父親"

2.需要的接口~

??由于在BST中，我們已經定義了查找search算法，因此，不需要給RedBlack重新寫查找算法，只需要對插入和刪除算法進行重寫既可（并且在后面可以發(fā)現(xiàn)，其插入和刪除的本質，跟BST和AVL一模一樣！）。并且在BinTree中，我們也定義了遍歷算法，因此，也沿用即可。

在樹中插入一個節(jié)點insert 在樹中刪除一個節(jié)點remove

3.重要輔助函數(shù)~

（1）重寫高度更新算法~

??由于紅黑樹的高度的表示方式為黑高度，所以其高度更新的算法也需要進行重寫

更新高度updateHeight

（2）雙紅，雙黑缺陷~

??這兩個輔助函數(shù)，正是紅黑樹得以保持平衡的最主要原因。在接下來介紹插入時，會解釋雙紅缺陷，在介紹刪除時，會解釋雙黑缺陷。

solveDoubleRed解決雙紅缺陷 solveDoubleBlack解決雙黑缺陷

4.類內輔助靜態(tài)函數(shù)~

??為了加快算法執(zhí)行的效率，和方便理解，在紅黑樹類內定義了4個靜態(tài)內聯(lián)函數(shù)。前兩個很好理解，后面兩個在介紹插入和刪除算法時會進行解釋。

IsBlack//判黑//當然x為空，也為黑色 IsRed//非黑即紅IsBlackHeightBalanced//判斷是否需要更新黑高度 uncle//獲取當前節(jié)點的叔叔

5.RedBlack.h~

template<typename T=int> class RedBlack :public BST<T> { protected:using BinNodePtr = BinNode<T>*;protected:void solveDoubleRed(BinNode<T>* x);//雙紅修正void solveDoubleBlack(BinNode<T>* replacer);//雙黑修正constexpr int updateHeight(BinNode<T>* x)const override;//更新高度public:BinNode<T>* insert(const T& data)override;//插入重寫bool remove(const T& data)override;//刪除重寫/*查找沿用BST的查找*//*遍歷沿用BinTree的遍歷*/protected:static constexpr bool IsBlack(const BinNodePtr& x) {//判黑//當然x為空，也為黑色return ((!x) || (RBColor::BLACK == x->_color));}static constexpr bool IsRed(const BinNodePtr& x) {//非黑即紅return !IsBlack(x);}static constexpr bool IsBlackHeightBalanced(const BinNodePtr& x) {//判斷是否需要更新黑高度bool is_L_C_Equal = (stature(x->_lchild) == stature(x->_rchild));int rbHeight = (IsRed(x) ? stature(x->_lchild) : stature(x->_lchild) + 1);//對于rbHeight的計算而言，取左孩子還是右孩子，均一樣bool is_Height_Equal = (x->_height == rbHeight);return is_L_C_Equal && is_Height_Equal;//只要有一個為假，即為假//所以只要左孩子和右孩子高度相等，或者x沒有高度變化，就黑高度平衡 }static inline BinNodePtr uncle(const BinNodePtr& x) {/*獲取x的叔叔*/return IsLChild(x->_parent) ? x->_parent->_parent->_rchild : x->_parent->_parent->_lchild;}};//class RedBlack

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（二）高度更新~

??下面是我們在本系列文章第一部分定義的獲取當前節(jié)點高度的全局靜態(tài)函數(shù)。并且我們規(guī)定當沒有節(jié)點時，高度為-1，當有一個節(jié)點時，高度為0（見第一部分關于樹的語義規(guī)定中樹的高度的定義）。此規(guī)定依然適用于紅黑樹，也就是說，哪怕紅黑樹此時只有一個根節(jié)點（必然為黑），其高度為0而不是1。
??此規(guī)定，對于后序紅黑樹的平衡不造成任何影響，但若讀者要獲取紅黑樹的高度的話，就需要明白此時的黑高度，比實際的黑高度少1。

template<typename BinNodePtr> static constexpr int stature(const BinNodePtr& x) {//獲取高度return x ? x->_height : -1;//空指針高度為-1 }

高度更新代碼~

template<typename T> constexpr int RedBlack<T>::updateHeight(BinNode<T>* x) const//由于stature視空節(jié)點高度為-1，所以height會比黑高度少一 {x->_height = std::max(stature(x->_lchild), stature(x->_rchild));//孩子一般黑高度相等，除非出現(xiàn)雙黑return IsBlack(x) ? x->_height++ : x->_height;//若當前節(jié)點為黑，則計入黑高度 }

由于重寫了更新高度函數(shù)，所以此時x的高度，為黑高度。
要更新紅黑樹的高度（即黑高度），只有當：

（1）左右孩子黑高度不相等。 （2）x為黑節(jié)點時，其高度要加1。 （3）x為紅節(jié)點時，其高度不需要額外更新。

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（三）紅黑樹的插入代碼~

??紅黑樹的插入算法，與BST，AVL的基本插入方式一模一樣，唯一不同的是后續(xù)要進行雙紅修復。

??先用BST的search確定不存在這個節(jié)點，并且更新_hot的位置,并以_hot為父親，創(chuàng)建一個新節(jié)點。并將其黑高度更新為-1，以及染色成紅色（我們默認新加入的節(jié)點均為紅色節(jié)點，除非新加的是根節(jié)點）。

??由BinNode節(jié)點的構造函數(shù)，默認新節(jié)點為紅色。

template<typename T> BinNode<T>* RedBlack<T>::insert(const T& data) {BinNode<T>*& x = this->search(data);//沿用BST的查找//并更新_hot//用引用接收if (x)//如果節(jié)點存在，則返回return x;x = new BinNode<T>(data, this->_hot, nullptr, nullptr, -1);//設定黑高度-1，并默認節(jié)點為紅色this->_size++;solveDoubleRed(x);//雙紅修正//x此時必為紅return x; }

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（四）雙紅修復~

??因新節(jié)點的引入，而導致父子節(jié)點同為紅色的此類情況，稱作“雙紅”（double red）。每引入一個關鍵碼，雙紅修正函數(shù)都可能迭代地調用多次。在此過程中，當前節(jié)點x的兄弟及兩個孩子（初始時都是外部節(jié)點），必然均為黑色。

因為x的父親為紅色，所以其只可能有黑孩子，所以x若有兄弟，則必為黑色。 由于x為新節(jié)點，其外部節(jié)點為空，即默認均為黑孩子。

??將x的父親與祖父分別記作p和g。既然此前的紅黑樹合法，故作為紅節(jié)點p的父親，g必然存在且為黑色。

此時的g，必然存在，否則作為樹根的節(jié)點p不可能為紅色；并且g作為紅色節(jié)點p的父親，其必然為黑色的

在下面的過程中，僅僅有x p g這三個節(jié)點還不夠，因此，還需要一個額外的節(jié)點，即p的兄弟（x的叔叔）u。

??以下，視節(jié)點u的顏色不同（若u不存在，其顏色也視為黑，這符合之前外部節(jié)點的顏色定義），分兩類情況分別處置。

1) u為黑色~

??u為黑色時，具體來說，對應四種結構.

??此時x的兄弟和兩個孩子的黑高度必然都與u的黑高度相等。

a) LL型~

在原來的樹中，插入了新節(jié)點x。構成下圖所示的結構。

此時，可以利用B樹來理解，不妨先將紅黑樹，經過提升變換，提升為對應的（2,4）B樹。

從B樹的結構可以看出，其不滿足先前提升變換的四種情況中的任何一種。
因此，要想其滿足提升變換的四種情況，最簡單的做法，就是將p與g互換顏色，讓對應的（2,4）B樹變成下圖所示形式

再將對應的（2,4）B樹還原成紅黑樹，即為

即原來的 x 變成 a，原來的 p 變成 b ，原來的 g 變成 c 。
但也注意到，相應的孩子節(jié)點的位置也發(fā)生了新的變化。

??因此，如何做到這樣的變化呢？此時不妨想想在本系列文章第三部分定義的AVL中的connect34算法，其對應的形狀也是這樣的形狀

??沒錯，只要我們將對應的x p g按照connect34的形式進行重構，就可以達到目的。

b) RR型~

??同LL型一樣處理，不多贅述。

c) LR型~

??在原來的樹中，插入了新節(jié)點x。構成下圖所示的結構。此時仍然滿足x的兄弟和兩個孩子的黑高度必然都與u的黑高度相等這個條件。

此時，同樣可以利用B樹來理解，不妨先將紅黑樹，經過提升變換，提升為對應的（2,4）B樹。

??情況總是驚人的相似，可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在的形狀的調整方式，不正是同LL型的調整方式一模一樣么？只是x p g的相對位置有所變化。因此，也是需要進行connect34重構。

d) RL型~

??同LR型一樣處理，不多贅述。

2) u為紅色~

??u為紅色時，具體來說，對應四種結構

??此時，u的左、右孩子均為黑色（可能為空），其黑高度必與x的兄弟以及兩個孩子相等。

a) LL型~

在原來的樹中，插入了新節(jié)點x。構成下圖所示的結構。

此時，同樣可以利用B樹來理解，不妨先將紅黑樹，經過提升變換，提升為對應的（2,4）B樹。

在介紹LR型的時候，會展示怎么處理這種情況。

b) RR型~

??同LL型一樣處理，不多贅述。

c) LR型~

??在原來的樹中，插入了新節(jié)點x。構成下圖所示的結構。此時仍然滿足x的兄弟和兩個孩子的黑高度必然都與u的黑高度相等這個條件。

此時，同樣可以利用B樹來理解，不妨先將紅黑樹，經過提升變換，提升為對應的（2,4）B樹。

??可以看到，提升變換之后，其這個大節(jié)點的關鍵碼數(shù)目，均必然為4個，超出了4階B樹的個數(shù)限制（4階B樹的一個大節(jié)點的關鍵碼數(shù)最多只能有3個）。所以可以仿照B樹的情況，進行一次上溢。同時進行染色以滿足原來B樹提升變換后的四種形態(tài)。（問號節(jié)點中必然有一個為黑，按照紅黑樹的提升變換，只有當g染成紅時才可以進行提升變換）

從紅黑樹的角度來看，對比沒有變換之前


??從宏觀上來看，對于紅黑樹而言，只需要將p u的顏色由紅色變成黑色，并且若g不為根節(jié)點的話，就將g染色成紅色。當然，若g此時就是根節(jié)點，其強制變成黑色。

??同樣，由于g變成了紅色，所以還需要繼續(xù)判斷g的父親是否是紅色，因此要繼續(xù)進行雙紅修復。最壞的情況，可能要持續(xù)到根節(jié)點。（由x到g，上升了兩層）。累計最多迭代logn次。

d) RL型~

??同LR型一樣處理，不多贅述。

3) 求當前節(jié)點的叔叔代碼~

static inline BinNodePtr uncle(const BinNodePtr& x) {/*獲取x的叔叔*/return IsLChild(x->_parent) ? x->_parent->_parent->_rchild : x->_parent->_parent->_lchild; }

4) 雙紅修復代碼遞歸版~

??注意要是已經遞歸到樹根，則樹根強制轉黑

template<typename T>void RedBlack<T>::solveDoubleRed(BinNode<T>* x){if (IsRoot(x)) {//若已遞歸到樹根，則樹根轉黑，整樹高度也隨之遞增this->_root->_color = RBColor::BLACK;this->_root->_height++;return;}//否則x的父親必然存在BinNode<T>* p = x->_parent;//x的父親if (IsBlack(p))//如果x的父親為黑，則終止調整return;//否則x的父親必然為紅，則BinNode<T>* g = p->_parent;//x的祖父必然存在，并且，其顏色必然為黑色BinNode<T>* u = uncle(x);//x的叔叔，可能為空節(jié)點if (IsBlack(u)) {//當u為黑色時（u為空時，也為黑色）if (IsLChild(x) == IsLChild(p))p->_color = RBColor::BLACK;elsex->_color = RBColor::BLACK;g->_color = RBColor::RED;/// 以上雖保證總共兩次染色，但因增加了判斷而得不償失/// 在旋轉后將根置黑、孩子置紅，雖需三次染色但效率更高BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(g);//先記錄祖父的父親的孩子指針newNode = this->rotateAt(x);/*對x進行調整，調整之后的返回值必然為調整之后的局部子樹的樹根位置，此時，只需要將此樹根作為原來祖父的父親的孩子既可，當然，高度也隨之更新*/return;//只要旋轉了一次，就調整完整，退出循環(huán)}else {//若u為紅色p->_color = RBColor::BLACK;//父親此時必然為紅色，將其轉黑p->_height++;u->_color = RBColor::BLACK;//叔叔此時必然為紅色，將其轉黑u->_height++;if (!IsRoot(g))//如果祖父不為根節(jié)點，就轉紅g->_color = RBColor::RED;solveDoubleRed(g);//遞歸用}}

5) 雙紅修復代碼迭代版~

??為了方便理解，我將遞歸的部分變成了注釋，并未進行刪除，方便讀者比對，迭代版中，不僅將尾遞歸轉換成了迭代，也將染色的效率進行了優(yōu)化。

template<typename T> void RedBlack<T>::solveDoubleRed(BinNode<T>* x) {while (true) {if (IsRoot(x)) {//若已迭代到樹根，則樹根轉黑，整樹高度也隨之遞增this->_root->_color = RBColor::BLACK;this->_root->_height++;return;}//否則x的父親必然存在BinNode<T>* p = x->_parent;//x的父親if (IsBlack(p))//如果x的父親為黑，則終止調整return;//否則x的父親必然為紅，則BinNode<T>* g = p->_parent;//x的祖父必然存在，并且，其顏色必然為黑色BinNode<T>* u = uncle(x);//x的叔叔，可能為空節(jié)點if (IsBlack(u)) {//當u為黑色時（u為空時，也為黑色）//if (IsLChild(x) == IsLChild(p))// p->_color = RBColor::BLACK;//else// x->_color = RBColor::BLACK;//g->_color = RBColor::RED;/// 以上雖保證總共兩次染色，但因增加了判斷而得不償失/// 在旋轉后將根置黑、孩子置紅，雖需三次染色但效率更高BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(g);//先記錄祖父的父親的孩子指針newNode = this->rotateAt(x);/*對x進行調整，調整之后的返回值必然為調整之后的局部子樹的樹根位置，此時，只需要將此樹根作為原來祖父的父親的孩子既可，當然，高度也隨之更新*///重染色/*能省去之前的判斷*/newNode->_color = RBColor::BLACK;newNode->_lchild->_color = RBColor::RED;newNode->_rchild->_color = RBColor::RED;return;//只要旋轉了一次，就調整完整，退出循環(huán)}else {//若u為紅色p->_color = RBColor::BLACK;//父親此時必然為紅色，將其轉黑p->_height++;u->_color = RBColor::BLACK;//叔叔此時必然為紅色，將其轉黑u->_height++;if (!IsRoot(g))//如果祖父不為根節(jié)點，就轉紅g->_color = RBColor::RED;//solveDoubleRed(g);//遞歸用x = g;//將x變成其祖父，進入迭代循環(huán)。}} }

6) 雙紅修復的復雜度~

??鄧老師已經用一個流程圖和一個表格，幫助我們詳細地分析了雙紅修復算法的復雜度。其中zag，zig是左右旋（也就是我們的connect34重構）

RR代表雙紅

??可見，對于u為黑的情況，只需做一輪修正；u為紅的情況雖有可能需要反復修正，但由于修正位置的高度會嚴格單調上升，故總共也不過O(logn)輪。另外從該表也可看出，每一輪修正只涉及到常數(shù)次的節(jié)點旋轉或染色操作。

??因此，節(jié)點插入之后的雙紅修正，累計耗時不會超過O(logn)。即便計入此前的關鍵碼查找以及節(jié)點接入等操作，紅黑樹的每次節(jié)點插入操作，都可在O(logn)時間內完成。

（五）紅黑樹的刪除~

??紅黑樹的刪除算法，本質同BST，AVL的刪除。在刪除節(jié)點方面。兩者沒什么區(qū)別，唯一的區(qū)別即高度的更新方式不同。因此，可以調用在BST中設定的給AVL的刪除接口removeAt全局函數(shù)。

現(xiàn)在我們繼續(xù)來看看removeAt函數(shù)的作用

定義在BST中的removeAt函數(shù)

template<typename T>//適用于AVL Splay,RedBlack等，必須這么設計，才能做到完美刪除，且保持BST的性質 static BinNode<T>* removeAt(BinNode<T>*& x, BinNode<T>*& hot) {//這里x必須用引用，才不會使指針亂指using BinNodePtr = BinNode<T>*; //記錄x的地址里面保存的值，若刪除temp里面的值，即刪除x里面的值，但x的本身地址不會影響temp，反之亦然。BinNodePtr temp = x;//替代被刪除節(jié)點的接替者，一般為被刪除節(jié)點的左孩子或者右孩子，而不是x的左孩子或者右孩子BinNodePtr replacer = nullptr;if (!HasLChild(x)) {//如果x沒有左孩子，或者x左右孩子均無，則將x的右孩子作為x，并將接替者設為x的右孩子x = x->_rchild;replacer = x;}else if (!HasRChild(x)) {//如果x沒有右孩子，則將x的左孩子作為x，并將接替者設為x的左孩子x = x->_lchild;replacer = x;}else {temp = temp->succ();//取得中序遍歷的后繼//這個后繼必將沒有左孩子std::swap(x->_data, temp->_data);//交換對應的值if (temp->_parent == x) {//如果后繼的父親是原來的x，后繼必然為x的右孩子replacer = temp->_rchild; //就將后繼的右孩子作為父親的右孩子temp->_parent->_rchild = replacer;}else {//如果后繼的父親不是原來的x，后繼必然為某一節(jié)點的左孩子replacer = temp->_rchild;temp->_parent->_lchild=replacer;//就將后繼的右孩子作為這個節(jié)點左孩子}}//hot即被刪除節(jié)點的父親。而temp正是要刪除的節(jié)點。hot = temp->_parent;if (replacer)//若replacer存在，則必須將其父指針指向hot。不然如同x->_rchild的父親指向的還是原來的replacer->_parent = hot;//釋放原來x所指的堆區(qū)的數(shù)據(jù)，或者x的后繼的堆區(qū)的數(shù)據(jù)release(temp->_data);release(temp);return replacer; }

1.再探removeAt語義~

??從removeAt的語義（3種刪除的情況）來看，刪除的節(jié)點可能是x，可能是x的后繼。

（1）removeAt的第一種和第二種情況~

??從removeAt的第一種和第二種情況來看，刪除的節(jié)點必然為x。即表明此時的x要么沒有孩子，要么只有一個孩子。即此時x必然有一個空孩子（也一定是黑孩子）。

下面圖的情況，全部是用來刪除節(jié)點x ?? 刪除節(jié)點1，實際刪除的也是1（removeAt的第一種情況）

刪除節(jié)點1，實際刪除的也是1（removeAt的第一種情況）

刪除節(jié)點1，實際刪除的也是1（removeAt的第二種情況）

??可以看到，此時x必然有一個空孩子（也一定是黑孩子）。

（2）removeAt的第三種情況~

??從removeAt的第三種情況來看，刪除的節(jié)點為x的后繼，由后繼的定義可知，這個后繼必然沒有左孩子（這種后繼的情況，必然屬于在本系列文章第一節(jié)談到的求后繼的第一種情況，并且我用紅字標明了這種后繼一定沒有左孩子），不然不可能刪這個后繼。

刪除節(jié)點10，實際刪除的是15（removeAt的第三種情況）

??可以看到，15必然沒有左孩子，其左孩子為空節(jié)點（黑節(jié)點）。

因此，x的后繼必然有一個空孩子（也是黑孩子）。

（3）結論~

綜合（1）（2）可以得到一個非常重要的結論：

無論被刪除的是x還是x的后繼，被刪除節(jié)點，都必然有一個空孩子（也是黑孩子）。

（4）removeAt其他細節(jié)~

??1. 在removeAt函數(shù)中，交換x與后繼的值時，也只是交換了它們的data值，并非交換了它們的所有東西，因此，x的原來的顏色，和其后繼的顏色均沒變。

std::swap(x->_data, temp->_data);//交換對應的值

??2.在刪除完成后_hot節(jié)點也指向了被刪除節(jié)點的父親節(jié)點。

//hot即被刪除節(jié)點的父親。而temp正是要刪除的節(jié)點。 hot = temp->_parent;

??3.removeAt的返回值是replacer，即被刪除節(jié)點的接替者。

BinNodePtr replacer//替代被刪除節(jié)點的接替者，一般為被刪除節(jié)點的左孩子或者右孩子，可能為空

2.紅黑樹的刪除~

（1）刪除情況分析~

??對于刪除時節(jié)點（可能是x被刪，也可能是其后繼被刪）的顏色進行分類討論的話，無外乎就五種情況。

（1）被刪除后，原樹沒有任何節(jié)點，刪除即可完成。

（2）被刪除的是根節(jié)點，只需要將其接替者replacer染成黑色，并更新高度既可，刪除完成。

（3）實際被刪除節(jié)點x為紅色，其必然只有黑孩子和黑父親，并且w必然為空（根據(jù)removeAt的結論），此時只需將r接替x的位置既可。（當然r也可能為空）

x代表被刪除節(jié)點，w代表必然為空的那個節(jié)點，r代表replacer也就是被刪除節(jié)點的接替者。p為x的父親

??此時，毫無例外，刪除x對原樹的黑高度肯定沒有影響，因此直接刪除既可。刪除完成后，即可結束。

（4）實際被刪除節(jié)點為黑色，w同樣也為空（根據(jù)removeAt的結論）。若r為紅色，此時，只需要在r接替x的位置之后，將r轉成黑色，那么原樹的黑高度也必然恢復，刪除完成。

（5）實際被刪除節(jié)點為黑色，w同樣也為空（根據(jù)removeAt的結論）。若r為黑，即出現(xiàn)雙黑情況，則需要做進一步的調整變換。（當然，這種情況，也必然包含了r為空孩子的情況）

（2）刪除代碼~

template<typename T> bool RedBlack<T>::remove(const T& data) {BinNode<T>*& x = this->search(data);//找有沒有這個節(jié)點，如果沒有，則返回false,記住用引用if (!x)return false;BinNode<T>* replacer = removeAt(x, this->_hot);//調用在BST定義的全局靜態(tài)函數(shù)removeAt,返回被刪除節(jié)點的接替者，同時更新_hot--this->_size;//更新規(guī)模//1.如果這個被刪除節(jié)點是樹中唯一節(jié)點，則直接返回if (this->_size==0) {this->_root = nullptr;//將根節(jié)點置空return true;}//2.如果被刪除節(jié)點為根節(jié)點，則_hot必然為空//但如果進行到此，說明此時_root必然不為空，不然上一就會退出if (this->_hot == nullptr) {this->_root->_color = RBColor::BLACK;//就將此時的根節(jié)點直接染成黑色updateHeight(this->_root);//并更新根節(jié)點的高度return true;}//如果進行到此，說明被刪除節(jié)點必然存在，并且不為根節(jié)點。_hot也必然存在/*3.如果_hot的黑高度不變則返回*//*此時也必然包括了被刪除節(jié)點為紅色節(jié)點的情況，若為紅色，則刪除對高度沒有影響*//*當然，也包括了雙黑的可能情況*/if (IsBlackHeightBalanced(this->_hot))return true;/*4.如果_hot的黑高度變了，說明被刪除節(jié)點必然為黑色*/if (IsRed(replacer)) {//就看x的接替者是不是紅色，如果是紅色，將其染成黑色，就必然可以使樹的高度恢復。replacer->_color = RBColor::BLACK;replacer->_height++;return true;}/*5.如果進行到此，就必然說明被刪除節(jié)點和replacer均為黑色節(jié)點（replacer可能為空），此時，就需要進行雙黑缺陷判斷*//*要進行到這里的條件即為被刪除節(jié)點的父親的黑高度變了，并且被刪除節(jié)點的接替者也為黑色時。*/solveDoubleBlack(replacer);return true; }

（3）判斷黑高度是否平衡代碼~

在紅黑樹的刪除過程中，我們需要判斷黑高度是否平衡。

static constexpr bool IsBlackHeightBalanced(const BinNodePtr& x) {//判斷是否需要更新黑高度bool is_L_C_Equal = (stature(x->_lchild) == stature(x->_rchild));int rbHeight = (IsRed(x) ? stature(x->_lchild) : stature(x->_lchild) + 1);//對于rbHeight的計算而言，取左孩子還是右孩子，均一樣bool is_Height_Equal = (x->_height == rbHeight);return is_L_C_Equal && is_Height_Equal;//只要有一個為假，即為假//所以只要左孩子和右孩子高度相等，或者x沒有高度變化，就黑高度平衡 }

（六）雙黑缺陷~

??若被刪除節(jié)點和其接替者（可能為空）均為黑。則顯然，為了保持紅黑樹的平衡性，原來被刪除節(jié)點必然有一個非空兄弟（其孩子可能均為空），不然黑高度就無法維持。

??不妨將被刪除節(jié)點x的兄弟記作s。被刪除節(jié)點的父親記作p。無論哪一個，顏色都不確定。

??因此，分s和p的顏色情況，分四種情況來討論。

（1）s為黑，其至少有一個紅孩子~

??先以s為p的左孩子，x為p的右孩子來處理（對稱情況處理方式完全相同）
??左為紅黑樹，右為對應的B樹

??此時刪除了節(jié)點x，類似于B樹的處理方式，由于其左兄弟有一個多余的關鍵碼，所以要從其左兄弟借一個關鍵碼。調整后為（當然，調整之后，要滿足提升變換的四種情況，因此需要重染色）

左側是B樹，右側是紅黑樹

??并且圖（b）的結構也是令人十分熟悉，沒錯，也就是connect34重構。
??因此，從紅黑樹的角度來看，此過程等效于對節(jié)點t，s，p進行3+4重構。

??位置調整好后，再進行重染色，即把t，p染成黑色，s繼續(xù)沿用之前p的顏色。并且在此過程中，r的顏色沒有發(fā)生變化。

??顯然，調整完之后，紅黑樹的高度得以復原。因此調整完畢。

（2）s為黑，s的兩個孩子為黑，p為紅~

??先以s為p的左孩子，x為p的右孩子來處理（對稱情況處理方式完全相同）
??左為紅黑樹，右為對應的B樹

（p的位置不可能是中間，只可能是左邊或者右邊） ??

??此時的B樹，被刪除的x無法從s中借關鍵碼，所以只有父親下溢。為保持紅黑樹的性質不變，因此下溢后，只需將s和p的顏色互換，就能保持性質。

（p的左右節(jié)點中有且僅有一個黑色關鍵碼，因此p下溢，不會造成對應B樹結構的破壞） ??

??因此，從紅黑樹的角度來看，只需將s與p的顏色進行互換，就能使紅黑樹的高度得到復原。

（3）s為黑，s的兩個孩子為黑，p為黑~

??先以s為p的左孩子，x為p的右孩子來處理（對稱情況處理方式完全相同）
??左為紅黑樹，右為對應的B樹

??由于刪除了x，s也沒有足夠的關鍵碼，因此，只能p下溢。并且由于p所在層次，必然只有p一個關鍵碼，因此，p的下溢，必將導致上層下溢。

??下溢之后，將s置為紅色，對應的紅黑樹為

??因此，從紅黑樹的角度來看，即把s由黑轉紅。

??由于p是下溢過來的，所以需要做進一步的檢查，此時等效于原樹中p的黑父親剛刪除，因此可以看做又是一次雙黑缺陷。所以需要再次做迭代循環(huán)。

??這也是雙黑修正過程中，需要再次迭代的唯一可能。（可能進入情況1 2 3 4中任何一種）。

（4）s為紅，s的兩個孩子必然為黑，p必然為黑~

??先以s為p的左孩子，x為p的右孩子來處理（對稱情況處理方式完全相同）
??左為紅黑樹，右為對應的B樹

??從B樹的角度來看，此時可以將p下溢，并將s’轉紅，s轉黑，但這樣會導致以s’為根的子樹的高度變化，并且由于x被刪除，以x為根的子樹的高度必然也下降。所以，如果僅僅這么調整，會造成兩顆子樹的高度減少，使得情況變得更加復雜。

??而先輩們已經有了很好的解決方式。

??即先將s與p互換顏色，得到左圖所示的B樹，將其轉換為紅黑樹為右圖所示。

??從紅黑樹的角度來看，這一轉換對應于以節(jié)點p為軸做一次旋轉，并交換p與s的顏色。

??可以發(fā)現(xiàn)，經過上述處理后，雙黑缺陷依然存在，而且缺陷位置的高度也未上升。但此次變換并非沒有意義，仔細觀察圖b可以發(fā)現(xiàn)，被刪除節(jié)點x有了一個新兄弟s’,并且s’必然為黑。

??并且，調整之后，可以發(fā)現(xiàn)a與b所示的紅黑樹，完全等價。

??再仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)，此時x p s’對應的情況，不正是之前雙黑修復過程中出現(xiàn)的情況（1）與（2）么

??所以，只需要將調整之后的紅黑樹，再進行一次雙黑修復，就必然可以修復高度。

（5）雙黑修復遞歸版~

template<typename T> void RedBlack<T>::solveDoubleBlack(BinNode<T>* replacer) {BinNode<T>* p = replacer ? replacer->_parent : this->_hot;if (p == nullptr)return;//如果replacer的父親為空，則返回/*由下面的情況來分析，無論哪種情況，遞歸的這個節(jié)點，必然為黑色*/所以不需要考慮將根節(jié)點強轉黑色BinNode<T>* sibling = (replacer == p->_lchild) ? p->_rchild : p->_lchild;//原來x的兄弟，也就是replacer此時的兄弟if (IsBlack(sibling)) {BinNode<T>* s_Red_child = nullptr;//sibling的紅孩子（若左右孩子皆為紅，則左者優(yōu)先；皆黑時為nullptr）if (IsRed(sibling->_rchild))//需要判斷sibling是不是空指針s_Red_child = sibling->_rchild;//右孩子if (IsRed(sibling->_lchild))s_Red_child = sibling->_lchild;//左孩子 /*1.第一種情況，黑s有紅孩子*/if (s_Red_child != nullptr) {//如果sibling有紅孩子RBColor oldColor = p->_color;//備份父親的顏色/*接下來對s的紅孩子，s以及p進行3+4重構*//*根據(jù)3+4重構后的定義，其返回的節(jié)點為根節(jié)點指針，這個根節(jié)點的名字不妨設為newNode*/BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(p);//首先記錄父親的 父親的孩子的指針newNode = this->rotateAt(s_Red_child);//3+4重構//對3+4重構后的節(jié)點進行重染色if (HasLChild(newNode)) {newNode->_lchild->_color = RBColor::BLACK;updateHeight(newNode->_lchild);}if (HasRChild(newNode)) {newNode->_rchild->_color = RBColor::BLACK;updateHeight(newNode->_rchild);}newNode->_color = oldColor;//新子樹根節(jié)點繼承原根節(jié)點的顏色updateHeight(newNode);//更新高度/*至此，就調整完畢，紅黑樹恢復平衡*/}/*黑s沒有紅孩子，及其孩子均為黑色（可能為空）,對其父親是否為紅色進行判斷*/else {sibling->_color = RBColor::RED;//無論父親是否為紅色，都需要把s設為紅色sibling->_height--; /*2.黑s只有黑孩子（可能為空，并且其父親為紅色*/if (IsRed(p)) {p->_color = RBColor::BLACK;//直接將父親設定為黑色，父親的高度必然沒有發(fā)生變化。//因為p原來為紅，現(xiàn)在由于兩個孩子高度都減了一，所以將其變成黑色后，其高度就恢復了原來的高度/*至此，就調整完畢，紅黑樹恢復平衡*/} /*3.黑s只有黑孩子（可能為空，并且其父親為黑色*/else {p->_height--;//相當于p的父親被刪，然后對p是父親的replacer，因此，對p進行遞歸既可。solveDoubleBlack(p);//用遞歸時用/*之后可能進入1 2 3 4四種情況中的任何一種，最壞可能到根*/}}} /*4.s為紅，此時其必然只有黑孩子（黑孩子可能均為空），當然s的父親p此時也必然為黑*/else {sibling->_color = RBColor::BLACK;//將s和p的顏色互換p->_color = RBColor::RED;//取與s同側的孩子BinNode<T>* s_child = IsLChild(sibling) ? sibling->_lchild : sibling->_rchild;this->_hot = p;//首先將p的父親記錄起來BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(p);//首先記錄p的 父親的孩子的指針newNode = this->rotateAt(s_child);//將s_child,s與p 進行3+4重構/*調整之后，樹的局部結構就發(fā)生了變化*/solveDoubleBlack(replacer);//用遞歸時用//由第四種情況的分析，可知，只需要修復重構后的replacer就可以//并且之后只有可能進入第一種和第二種情況，必然不可能進入第三種情況} }

（6）雙黑修復迭代版~

??為了方便理解，我將遞歸的部分變成了注釋，并未進行刪除，方便讀者比對。

template<typename T> void RedBlack<T>::solveDoubleBlack(BinNode<T>* replacer) {while (true) {BinNode<T>* p = replacer ? replacer->_parent : this->_hot;if (p == nullptr)return;//如果replacer的父親為空，則返回/*由下面的情況來分析，無論哪種情況，遞歸的這個節(jié)點，必然為黑色*/所以不需要考慮將根節(jié)點強轉黑色BinNode<T>* sibling = (replacer == p->_lchild) ? p->_rchild : p->_lchild;//原來x的兄弟，也就是replacer此時的兄弟if (IsBlack(sibling)) {BinNode<T>* s_Red_child = nullptr;//sibling的紅孩子（若左右孩子皆為紅，則左者優(yōu)先；皆黑時為nullptr）if (IsRed(sibling->_rchild))//需要判斷sibling是不是空指針s_Red_child = sibling->_rchild;//右孩子if (IsRed(sibling->_lchild))s_Red_child = sibling->_lchild;//左孩子 /*1.第一種情況，黑s有紅孩子*/if (s_Red_child != nullptr) {//如果sibling有紅孩子RBColor oldColor = p->_color;//備份父親的顏色/*接下來對s的紅孩子，s以及p進行3+4重構*//*根據(jù)3+4重構后的定義，其返回的節(jié)點為根節(jié)點指針，這個根節(jié)點的名字不妨設為newNode*/BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(p);//首先記錄父親的 父親的孩子的指針newNode = this->rotateAt(s_Red_child);//3+4重構//對3+4重構后的節(jié)點進行重染色if (HasLChild(newNode)) {newNode->_lchild->_color = RBColor::BLACK;updateHeight(newNode->_lchild);}if (HasRChild(newNode)) {newNode->_rchild->_color = RBColor::BLACK;updateHeight(newNode->_rchild);}newNode->_color = oldColor;//新子樹根節(jié)點繼承原根節(jié)點的顏色updateHeight(newNode);//更新高度/*至此，就調整完畢，紅黑樹恢復平衡*/return;//用遞歸的時候注釋掉}/*黑s沒有紅孩子，及其孩子均為黑色（可能為空）,對其父親是否為紅色進行判斷*/else {sibling->_color = RBColor::RED;//無論父親是否為紅色，都需要把s設為紅色sibling->_height--; /*2.黑s只有黑孩子（可能為空，并且其父親為紅色*/if (IsRed(p)) {p->_color = RBColor::BLACK;//直接將父親設定為黑色，父親的高度必然沒有發(fā)生變化。//因為p原來為紅，現(xiàn)在由于兩個孩子高度都減了一，所以將其變成黑色后，其高度就恢復了原來的高度/*至此，就調整完畢，紅黑樹恢復平衡*/return;//用遞歸的時候注釋掉} /*3.黑s只有黑孩子（可能為空，并且其父親為黑色*/else {p->_height--;//相當于p的父親被刪，然后對p是父親的replacer，因此，對p進行遞歸既可。//solveDoubleBlack(p);//用遞歸時用replacer = p;//將replacer變成p進入迭代循環(huán)//用遞歸的時候注釋掉/*之后可能進入1 2 3 4四種情況中的任何一種，最壞可能到根*/}}} /*4.s為紅，此時其必然只有黑孩子（黑孩子可能均為空），當然s的父親p此時也必然為黑*/else {sibling->_color = RBColor::BLACK;//將s和p的顏色互換p->_color = RBColor::RED;//取與s同側的孩子BinNode<T>* s_child = IsLChild(sibling) ? sibling->_lchild : sibling->_rchild;this->_hot = p;//首先將p的父親記錄起來BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(p);//首先記錄p的 父親的孩子的指針newNode = this->rotateAt(s_child);//將s_child,s與p 進行3+4重構/*調整之后，樹的局部結構就發(fā)生了變化*///solveDoubleBlack(replacer);//用遞歸時用//由第四種情況的分析，可知，只需要修復重構后的replacer就可以//并且之后只有可能進入第一種和第二種情況，必然不可能進入第三種情況}} }

（7）雙黑修復復雜度~

??鄧老師已經用一個流程圖和一個表格，幫助我們詳細地分析了雙黑修復算法的復雜度。其中zag，zig是左右旋（也就是我們的connect34重構）

??其中涉及的重構、染色等局部操作，均可在常數(shù)時間內完成，故為了估計整個雙黑修正過程的時間復雜度，也只需統(tǒng)計這些操作各自的累計執(zhí)行次數(shù)。

??情況BB-2-B雖可能需要反復修正，但由于待修正位置的高度嚴格單調上升，累計也不致過O(logn)輪，故雙黑修正過程總共耗時不超過O(logn)。

??即便計入此前的關鍵碼查找和節(jié)點摘除操作，紅黑樹的節(jié)點刪除操作總是可在O(logn)時間內完成。

??一旦在某步迭代中做過節(jié)點的旋轉調整，整個修復過程便會隨即完成。因此與雙紅修正一樣，雙黑修正的整個過程，也僅涉及常數(shù)次的拓撲結構調整操作。

??這同樣也是紅黑樹與AVL樹之間最本質的差別。（在本文章的開頭，就說明了AVL的不足就在于刪除時可能要多達logn次調整。）

五、完整RedBlack.h~

#pragma once #include "BinNode.h" #include "BST.h"namespace my_redblack {using mytree::BinNode;using mytree::BST;using mytree::RBColor;using mytree_marcro::stature;using mytree_marcro::IsRoot;using mytree_marcro::IsLChild;using mytree_marcro::HasLChild;using mytree_marcro::HasRChild;template<typename T=int>class RedBlack :public BST<T> {protected:using BinNodePtr = BinNode<T>*;protected:void solveDoubleRed(BinNode<T>* x);//雙紅修正void solveDoubleBlack(BinNode<T>* replacer);//雙黑修正constexpr int updateHeight(BinNode<T>* x)const override;//更新高度public:BinNode<T>* insert(const T& data)override;//插入重寫bool remove(const T& data)override;//刪除重寫/*查找沿用BST的查找*//*遍歷沿用BinTree的遍歷*/protected:static constexpr bool IsBlack(const BinNodePtr& x) {//判黑//當然x為空，也為黑色return ((!x) || (RBColor::BLACK == x->_color));}static constexpr bool IsRed(const BinNodePtr& x) {//非黑即紅return !IsBlack(x);}static constexpr bool IsBlackHeightBalanced(const BinNodePtr& x) {//判斷是否需要更新黑高度bool is_L_C_Equal = (stature(x->_lchild) == stature(x->_rchild));int rbHeight = (IsRed(x) ? stature(x->_lchild) : stature(x->_lchild) + 1);//對于rbHeight的計算而言，取左孩子還是右孩子，均一樣bool is_Height_Equal = (x->_height == rbHeight);return is_L_C_Equal && is_Height_Equal;//只要有一個為假，即為假//所以只要左孩子和右孩子高度相等，或者x沒有高度變化，就黑高度平衡 }static inline BinNodePtr uncle(const BinNodePtr& x) {/*獲取x的叔叔*/return IsLChild(x->_parent) ? x->_parent->_parent->_rchild : x->_parent->_parent->_lchild;}};//class RedBlacktemplate<typename T>constexpr int RedBlack<T>::updateHeight(BinNode<T>* x) const//由于stature視空節(jié)點高度為-1，所以height會比黑高度少一{x->_height = std::max(stature(x->_lchild), stature(x->_rchild));//孩子一般黑高度相等，除非出現(xiàn)雙黑return IsBlack(x) ? x->_height++ : x->_height;//若當前節(jié)點為黑，則計入黑高度}template<typename T>void RedBlack<T>::solveDoubleRed(BinNode<T>* x){while (true) {if (IsRoot(x)) {//若已迭代到樹根，則樹根轉黑，整樹高度也隨之遞增this->_root->_color = RBColor::BLACK;this->_root->_height++;return;}//否則x的父親必然存在BinNode<T>* p = x->_parent;//x的父親if (IsBlack(p))//如果x的父親為黑，則終止調整return;//否則x的父親必然為紅，則BinNode<T>* g = p->_parent;//x的祖父必然存在，并且，其顏色必然為黑色BinNode<T>* u = uncle(x);//x的叔叔，可能為空節(jié)點if (IsBlack(u)) {//當u為黑色時（u為空時，也為黑色）//if (IsLChild(x) == IsLChild(p))// p->_color = RBColor::BLACK;//else// x->_color = RBColor::BLACK;//g->_color = RBColor::RED;/// 以上雖保證總共兩次染色，但因增加了判斷而得不償失/// 在旋轉后將根置黑、孩子置紅，雖需三次染色但效率更高BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(g);//先記錄祖父的父親的孩子指針newNode = this->rotateAt(x);/*對x進行調整，調整之后的返回值必然為調整之后的局部子樹的樹根位置，此時，只需要將此樹根作為原來祖父的父親的孩子既可，當然，高度也隨之更新*///重染色/*能省去之前的判斷*/newNode->_color = RBColor::BLACK;newNode->_lchild->_color = RBColor::RED;newNode->_rchild->_color = RBColor::RED;return;//只要旋轉了一次，就調整完整，退出循環(huán)}else {//若u為紅色p->_color = RBColor::BLACK;//父親此時必然為紅色，將其轉黑p->_height++;u->_color = RBColor::BLACK;//叔叔此時必然為紅色，將其轉黑u->_height++;if (!IsRoot(g))//如果祖父不為根節(jié)點，就轉紅g->_color = RBColor::RED;//solveDoubleRed(g);//遞歸用x = g;//將x變成其祖父，進入迭代循環(huán)。}}}template<typename T>BinNode<T>* RedBlack<T>::insert(const T& data){BinNode<T>*& x = this->search(data);//沿用BST的查找//并更新_hot//用引用接收if (x)//如果節(jié)點存在，則返回return x;x = new BinNode<T>(data, this->_hot, nullptr, nullptr, -1);//設定黑高度-1，并默認節(jié)點為紅色this->_size++;solveDoubleRed(x);//雙紅修正//x此時必為紅return x;}template<typename T>void RedBlack<T>::solveDoubleBlack(BinNode<T>* replacer){while (true) {BinNode<T>* p = replacer ? replacer->_parent : this->_hot;if (p == nullptr)return;//如果replacer的父親為空，則返回/*由下面的情況來分析，無論哪種情況，遞歸的這個節(jié)點，必然為黑色*/所以不需要考慮將根節(jié)點強轉黑色BinNode<T>* sibling = (replacer == p->_lchild) ? p->_rchild : p->_lchild;//原來x的兄弟，也就是replacer此時的兄弟if (IsBlack(sibling)) {BinNode<T>* s_Red_child = nullptr;//sibling的紅孩子（若左右孩子皆為紅，則左者優(yōu)先；皆黑時為nullptr）if (IsRed(sibling->_rchild))//需要判斷sibling是不是空指針s_Red_child = sibling->_rchild;//右孩子if (IsRed(sibling->_lchild))s_Red_child = sibling->_lchild;//左孩子/*1.第一種情況，黑s有紅孩子*/if (s_Red_child != nullptr) {//如果sibling有紅孩子RBColor oldColor = p->_color;//備份父親的顏色/*接下來對s的紅孩子，s以及p進行3+4重構*//*根據(jù)3+4重構后的定義，其返回的節(jié)點為根節(jié)點指針，這個根節(jié)點的名字不妨設為newNode*/BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(p);//首先記錄父親的 父親的孩子的指針newNode = this->rotateAt(s_Red_child);//3+4重構//對3+4重構后的節(jié)點進行重染色if (HasLChild(newNode)) {newNode->_lchild->_color = RBColor::BLACK;updateHeight(newNode->_lchild);}if (HasRChild(newNode)) {newNode->_rchild->_color = RBColor::BLACK;updateHeight(newNode->_rchild);}newNode->_color = oldColor;//新子樹根節(jié)點繼承原根節(jié)點的顏色updateHeight(newNode);//更新高度/*至此，就調整完畢，紅黑樹恢復平衡*/return;//用遞歸的時候注釋掉}/*黑s沒有紅孩子，及其孩子均為黑色（可能為空）,對其父親是否為紅色進行判斷*/else {sibling->_color = RBColor::RED;//無論父親是否為紅色，都需要把s設為紅色sibling->_height--;/*2.黑s只有黑孩子（可能為空，并且其父親為紅色*/if (IsRed(p)) {p->_color = RBColor::BLACK;//直接將父親設定為黑色，父親的高度必然沒有發(fā)生變化。//因為p原來為紅，現(xiàn)在由于兩個孩子高度都減了一，所以將其變成黑色后，其高度就恢復了原來的高度/*至此，就調整完畢，紅黑樹恢復平衡*/return;//用遞歸的時候注釋掉}/*3.黑s只有黑孩子（可能為空，并且其父親為黑色*/else {p->_height--;//相當于p的父親被刪，然后對p是父親的replacer，因此，對p進行遞歸既可。//solveDoubleBlack(p);//用遞歸時用replacer = p;//將replacer變成p進入迭代循環(huán)//用遞歸的時候注釋掉/*之后可能進入1 2 3 4四種情況中的任何一種，最壞可能到根*/}}}/*4.s為紅，此時其必然只有黑孩子（黑孩子可能均為空），當然s的父親p此時也必然為黑*/else {sibling->_color = RBColor::BLACK;//將s和p的顏色互換p->_color = RBColor::RED;//取與s同側的孩子BinNode<T>* s_child = IsLChild(sibling) ? sibling->_lchild : sibling->_rchild;this->_hot = p;//首先將p的父親記錄起來BinNode<T>*& newNode = this->FromParentTo(p);//首先記錄p的 父親的孩子的指針newNode = this->rotateAt(s_child);//將s_child,s與p 進行3+4重構/*調整之后，樹的局部結構就發(fā)生了變化*///solveDoubleBlack(replacer);//用遞歸時用//由第四種情況的分析，可知，只需要修復重構后的replacer就可以//并且之后只有可能進入第一種和第二種情況，必然不可能進入第三種情況}}}template<typename T>bool RedBlack<T>::remove(const T& data){BinNode<T>*& x = this->search(data);//找有沒有這個節(jié)點，如果沒有，則返回false,記住用引用if (!x)return false;BinNode<T>* replacer = removeAt(x, this->_hot);//調用在BST定義的全局靜態(tài)函數(shù)removeAt,返回被刪除節(jié)點的接替者，同時更新_hot--this->_size;//更新規(guī)模//1.如果這個被刪除節(jié)點是樹中唯一節(jié)點，則直接返回if (this->_size==0) {this->_root = nullptr;//將根節(jié)點置空return true;}//2.如果被刪除節(jié)點為根節(jié)點，則_hot必然為空//但如果進行到此，說明此時_root必然不為空，不然上一就會退出if (this->_hot == nullptr) {this->_root->_color = RBColor::BLACK;//就將此時的根節(jié)點直接染成黑色updateHeight(this->_root);//并更新根節(jié)點的高度return true;}//如果進行到此，說明被刪除節(jié)點必然存在，并且不為根節(jié)點。_hot也必然存在/*3.如果_hot的黑高度不變則返回*//*此時也必然包括了被刪除節(jié)點為紅色節(jié)點的情況，若為紅色，則刪除對高度沒有影響*//*當然，也包括了雙黑的可能情況*/if (IsBlackHeightBalanced(this->_hot))return true;/*4.如果_hot的黑高度變了，說明被刪除節(jié)點必然為黑色*/if (IsRed(replacer)) {//就看x的接替者是不是紅色，如果是紅色，將其染成黑色，就必然可以使樹的高度恢復。replacer->_color = RBColor::BLACK;replacer->_height++;return true;}/*5.如果進行到此，就必然說明被刪除節(jié)點和replacer均為黑色節(jié)點（replacer可能為空），此時，就需要進行雙黑缺陷判斷*//*要進行到這里的條件即為被刪除節(jié)點的父親的黑高度變了，并且被刪除節(jié)點的接替者也為黑色時。*/solveDoubleBlack(replacer);return true;}}//namespace my_redblack

六、紅黑樹測試~

1.插入測試代碼~

#include<iostream> #include "RedBlack.h" using namespace std; using namespace my_redblack;template<typename BinNodePtr> void visite(BinNodePtr x) {cout << "數(shù)據(jù)為：" << x->_data << " ";if (x->_color == RBColor::RED) {cout << "顏色為：" << "紅" << " ";}else {cout << "顏色為：" << "黑" << " ";}cout << endl; } int main() {RedBlack r;for (int i = 0; i < 10; ++i) {r.insert(i);}cout << "層次遍歷為：" << endl;r.travLevel(visite<BinNode<int>*>);cout << endl;cout << "先序遍歷為：" << endl;r.travPre(visite<BinNode<int>*>);cout << endl;cout << "中序遍歷為：" << endl;r.travIn(visite<BinNode<int>*>);cout << endl;cout << "后序遍歷為：" << endl;r.travPost(visite<BinNode<int>*>);cout << endl;return 0; } 層次遍歷為： 數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：1 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：0 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：2 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅先序遍歷為： 數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：1 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：0 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：2 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅中序遍歷為： 數(shù)據(jù)為：0 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：1 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：2 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅后序遍歷為： 數(shù)據(jù)為：0 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：2 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：1 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑

2.插入測試圖示~

3.刪除測試代碼~

#include<iostream> #include "RedBlack.h" using namespace std; using namespace my_redblack;template<typename BinNodePtr> void visite(BinNodePtr x) {cout << "數(shù)據(jù)為：" << x->_data << " ";if (x->_color == RBColor::RED) {cout << "顏色為：" << "紅" << " ";}else {cout << "顏色為：" << "黑" << " ";}cout << endl; } int main() {RedBlack r;for (int i = 0; i < 10; ++i) {r.insert(i);}cout << "中序遍歷為：" << endl;r.travIn(visite<BinNode<int>*>);cout << endl;for (int i = 0; i < 10; ++i) {r.remove(i);r.travIn(visite<BinNode<int>*>);cout << endl;}return 0; } 中序遍歷為： 數(shù)據(jù)為：0 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：1 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：2 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：1 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：2 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：2 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：3 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：4 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：4 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：5 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：6 顏色為：紅 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：6 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：7 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：7 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：黑數(shù)據(jù)為：8 顏色為：黑 數(shù)據(jù)為：9 顏色為：紅數(shù)據(jù)為：9 顏色為：黑

4.刪除測試圖示~

七、結語~

本系列文章，總共6篇，分別介紹了

基本二叉樹節(jié)點（1w9字）

基本二叉樹類（6000字）

BST（1w2字）

AVL（1w1字）

B樹（1w5字）

紅黑樹（2w8字）

??其中B樹和紅黑樹的難度最大的，這兩種樹情況分析確實十分復雜，除非背下來，不然是不可能在短時間內一下就能分析出這么多情況，并且不發(fā)生遺漏的。

??在此，再次感謝鄧老師的教材和視頻，我才能夠掌握樹的核心框架。并且感謝發(fā)明這些樹的前輩們，多虧了他們的智慧，才有了這些高效的數(shù)據(jù)結構和算法的出現(xiàn)，提高了我們的計算機處理問題的能力。

??并且不知不覺，算上代碼，此系列文章也寫了將近9w字。零零散散大概寫了兩個星期左右。初衷是想要鍛煉一下c++的編程能力以及數(shù)據(jù)結構和算法。但寫著寫著就想盡可能地將內容完善，簡潔，并且簡單易懂地描述各種插入和刪除的過程。

??我相信，只要你從頭看下來，你對樹的理解必然會上升一個檔次。如果你對某些地方的算法有所困惑，那不妨將其手敲一遍，對照著文章再看一遍，或者看下鄧老師的書和講解，你一定能理解這里為什么要用這種算法。

??c++就我個人理解而言，是一門非常嚴謹?shù)恼Z言。寫c++代碼的時候，要考慮的因素很多，因此可能初學起來相對java，c#等語言而言，會感到進度緩慢，但只要入門了之后，特別是了解了c++11常用特性，以及c++的常用語法之后，你會對c++越來越喜愛，也會明白為什么c++是世界上效率最高的語言。

??廢話不多說，感謝你能耐心看完我精心準備的此系列文章，雖然我已經和鄧老師的代碼的各個實現(xiàn)進行了比對，但難免會有所遺漏之處，希望廣大讀者能夠即時進行指正。

??如果你覺得對你有用，請不要光收藏，你的贊是我繼續(xù)分享好東西的動力。

另外，借用侯捷大師的話：

學一個東西，不知道其道理，不高明！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的真c++ 从二叉树到红黑树（6）之红黑树RedBlack的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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