(0???2?)上對X(ej?)均勻采樣得到

?X(k)?X(ej?)

??2?k/N??n???x(n)e?j2?kn/N 0?k?N?1

可以看到X(k)也是頻域上的有限長序列，長度為N。序列X(k)稱為序列x(n)的N點DFT。N稱為DFT變換區間長度。 通常表示

WN?e?j2?/N

可將定義式表示為

?X(k)?

?x(n)Wn???kn 0?k?N?1

X(k)的離散傅里葉逆變換(IDFT)為

x(n)?1N?

1．圓周移位

?X(k)Wn????kn 0?n?N?1

(二)、DFT的性質

定義序列x(n)的m單位的圓周移位y(n)為：

y(n)?~x(n?m)RN(n)?x((n?m))NRN(n)18

實驗五 離散傅立葉變換DFT

(x((n?m))N即對x(n)以N為周期進行周期延拓的序列~RN(n)表x(n)的m點移位，示對此延拓移位后再取主值序列)

2． 圓周卷積

??X1(k) 0?k?N?1 設 x1(n)??NDFT??X2(k) 0?k?N?1 x2(n)??NDFT??X1(k)X2(k) 0?k?N?1 則 x1(n) x2(n)??NDFT這里 x1(n) x2(n) 表示x1(n)與 x2(n)的N點循環卷積。

N?1x1(n) x2(n)??xm?02(m)[x1((n?m))NRN(n)],n?0,1,?,N?1

3． 共軛對稱性

x(n)?xep(n)?xop(n),0?n?N?1

19

實驗五 離散傅立葉變換DFT

1?*x(n)?[x(n)?x(N?n)]?ep2??,0?n?N?1 1*?xop(n)?[x(n)?x(N?n)]2?DFT??X(k) x(n)??Nxep(n)????NDFT12[X(k)?X(k)]?Re[X(k)]?Xr(k)

*實際應用中，利用上述對稱性質可以減少DFT的運算量，提高運算效率。

三、實驗內容與步驟

１. 構造離散傅立葉正、反變換函數的MATLAB程序，其中dft(xn,N)為離散傅立葉正變換，idft(xn,N)為離散傅立葉反變換。 function[Xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=n;

WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k;

WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk;

function[xn]=idft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=n;

WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k;

WNnk=WN.^(-nk); xn =(Xk*WNnk)/N;

如果x(n)?sin(n?/8)?sin(n?/4)是一個N=16的有限長序列，利用離散傅立葉變換函數求其16點DFT,并顯示其DFT結果。

２. 利用MATLAB程序求有限長序列x(n)=8(0.4)n, 0≤n<20的圓周移位

xm(n)?x[(n?10)]20R20(n)，并顯示其圖形。

程序：

20

總結

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