文章目錄

• 一、粒子群優(yōu)化算法(PSO)是什么？
• 二、粒子群優(yōu)化算法有什么用？
• 三、粒子群優(yōu)化算法的適用范圍？
• 四、算法簡(jiǎn)介(有助于理解)
• 五、算法流程
• • 第一步：初始化
  • 第二步：計(jì)算粒子的適應(yīng)度
  • 第三步：更新個(gè)體極值與全局最優(yōu)解
  • 第四步：更新個(gè)體的速度和位置
  • 第五步：設(shè)置終止條件
• 六、matlab代碼實(shí)現(xiàn)
• 七、運(yùn)行結(jié)果
• • 1、各粒子的初始狀態(tài)位置
  • 2、各粒子的狀態(tài)位置變化圖
  • 3、各粒子的最終收斂位置
  • 4、收斂過程
• 七、粒子群優(yōu)化算法的使用流程圖
• 八、粒子群優(yōu)化算法的特點(diǎn)：
• 九、拓展知識(shí)
• 十、總結(jié)：
• 十一、參考附錄：

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敲到碼窮處，望盡天涯路。🍋

數(shù)學(xué)建模系列文章——總結(jié)篇：《數(shù)模美一國(guó)一退役選手的經(jīng)驗(yàn)分享[2021紀(jì)念版]》.

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一、粒子群優(yōu)化算法(PSO)是什么？

??粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm optimization,PSO) 是一種通過 模擬鳥群覓食行為 而發(fā)展起來的一種 基于群體協(xié)作 的 隨機(jī)搜索 算法。

??設(shè)想這樣一個(gè)場(chǎng)景：一群🐦在隨機(jī)搜索🐛。在這個(gè)區(qū)域處處分散著蟲子。所有的🐦都不知道🐛最集中的地方在哪里。
??但是它們知道各自目前位置的蟲子密度 和 其他鳥周圍的蟲子密度。那么找到目標(biāo)地點(diǎn)的最優(yōu)策略是什么呢？

??最簡(jiǎn)單有效的策略就是：

1. 眾鳥一起去搜尋 目前在蟲子密度區(qū)域最大的鳥 的周圍區(qū)域。

2. 根據(jù)自己飛行的經(jīng)驗(yàn)，來判斷蟲子密度最大的區(qū)域的所在。

算法核心思想：PSO的基礎(chǔ)是 信息的“社會(huì)共享”

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二、粒子群優(yōu)化算法有什么用？

??和蟻群算法、遺傳算法類似，包括粒子群算法，這三者都屬于 無約束 的優(yōu)化算法，屬于全局搜索算法，是 啟發(fā)式 算法。

??它只能夠得到 全局最優(yōu)的近似解 ，可能得不到全局最優(yōu)解。

??這些算法可以用在全局路徑搜索、網(wǎng)絡(luò)路由規(guī)劃、尋找復(fù)雜函數(shù)的最值點(diǎn)等應(yīng)用，比如 TSP路線搜索。

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三、粒子群優(yōu)化算法的適用范圍？

?? 該算法可以用在，關(guān)于 大數(shù)據(jù)、復(fù)雜度高、目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜的 要求要解出最優(yōu)值 的問題中。

?? 也可將其作為輔助模型來搭配主流模型，將兩個(gè)模型的結(jié)果做一個(gè)對(duì)比、分析。看看智能優(yōu)化算法與主流模型的差距。

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四、算法簡(jiǎn)介(有助于理解)

??在PSO中，搜索空間中的每一只鳥 對(duì)應(yīng) 優(yōu)化問題的每個(gè)解。我們將 “鳥” 稱之為 “粒子” 。

??所有的粒子都有一個(gè) “隨身攜帶” 的屬性，即需優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)所計(jì)算出的適應(yīng)值(fitness value)。每個(gè)粒子還有兩個(gè)屬性一個(gè)是飛翔的速度，另一個(gè)是當(dāng)前的位置。
??然后粒子們就追隨當(dāng)前的 最優(yōu) 粒子，動(dòng)態(tài)地在解空間中搜索全局最優(yōu)解。

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五、算法流程

??我們以兩個(gè)例子(第2個(gè)例子在 十、拓展 一欄)作跳板，從 1維 到 多維 ， 由易到難。

??假設(shè)我現(xiàn)在要解決 1維 空間的問題（比如：求如下函數(shù)的最大值問題）
$$f(x)=?(x?10{)}^2+x\times sin(x)cos(2x)?5x\times sin(3x)，其中，x\in [0,20]$$

第一步：初始化

??在 $D=1$ 維的空間里，初始化有 $N$ 個(gè)粒子，這些粒子分別初始化有以下屬性 ( 因?yàn)檫@些粒子只能在$x$軸上運(yùn)動(dòng)，所以我稱之為一維 )：

??①第 $i$ 個(gè)粒子的位置：$x_i，i=1,2,...,N$

??②第 $i$ 個(gè)粒子的速度：$v_i，i=1,2,...,N$

??③第 $i$ 個(gè)粒子所經(jīng)過的最好的位置：$pbes{t}_i，i=1,2,...,N$
??注：“pbest” 中的 “p” 指得是 “PSO” 中的 “P” → Particle(中文翻譯：粒子)

??④整個(gè)粒子群所經(jīng)過的最好的位置：$gbest$
??注：“gbest” 中的 “g” 指得是 Group .

??⑤給所有粒子的 位置 加上限制：$xlimi{t}_i\in [X_{min},X_{max}]，i=1,2,...,N$。
??在上面這個(gè)例子里面就是 $xlimi{t}_i\in [0,20]，i=1,2,...,N$

??⑥給所有粒子的 速度 加上限制：$vlimi{t}_i\in [V_{min},V_{max}]，i=1,2,...,N$

??⑦設(shè)置迭代次數(shù) $iter$。這個(gè)例子我假設(shè) $iter=50$ 。

??⑧設(shè)在每次迭代過程中，粒子們的自我學(xué)習(xí)因子 $c_1$ 。它用來調(diào)節(jié) 粒子每次移動(dòng)的步長(zhǎng) 受 “自我” 的影響因素大小。

??⑨設(shè)在每次迭代過程中，粒子們的群體學(xué)習(xí)因子 $c_1$ 。它用來調(diào)節(jié) 粒子每次移動(dòng)的步長(zhǎng) 受 “群體” 的影響因素大小。

??⑩設(shè)在每次迭代過程中，粒子們的慣性權(quán)重為 $w$ 。它是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用來體現(xiàn) 繼承上一刻自己速度的 “能力”。

第二步：計(jì)算粒子的適應(yīng)度

??這里的適應(yīng)度函數(shù)就是 $f(x)=?(x?10{)}^2+x\times sin(x)cos(2x)?5x\times sin(3x)$

??將第 $i$ 個(gè)粒子當(dāng)前的位置 $x_i$ 帶入即可得到 該粒子當(dāng)前的適應(yīng)度 $f(x_i)$ 。

第三步：更新個(gè)體極值與全局最優(yōu)解

?? 更新 第 $i$ 個(gè)粒子的個(gè)體最佳適應(yīng)度 $f_{pbest}(x_i)$ 和 群體整體的最佳適應(yīng)度$f_{gbest}$。這兩個(gè)不僅可以用來畫后面的 收斂圖，還可以用到 第五步中的方案② 。

??再根據(jù) $f_{pbest}(x_i)$ 更新 粒子的最佳位置 $pbes{t}_i，i=1,2,...,N$。

??再從這些 最佳位置 $pbes{t}_i$ 中找到一個(gè)群體的最佳位置 $gbest$ ，叫做 本次迭代 的全局最佳位置。

第四步：更新個(gè)體的速度和位置

??更新公式如下：$$v_i=v_i\times w+c_1\times rand()\times (pbes{t}_i?x_i)+c_2\times rand()\times (gbest?x_i)$$$$x_i=x_i+v_i$$??說明：①rand() 是 matlab 里面的一個(gè)產(chǎn)生 [0,1]之間的隨機(jī)數(shù)函數(shù) 。

?????②若在迭代過程中，第 $i$ 個(gè)粒子的位置 $x_i$ 超過了邊界 $[X_{min},X_{max}]$ ，則該粒子的 $x_i$ 被調(diào)節(jié)為 $X_{min}$ 或 $X_{max}$。(看它是超過了下限還是上限)。同理，對(duì)于 $v_i$ 也是這樣處理。

第五步：設(shè)置終止條件

??終止條件一般有這兩種方案：

????①達(dá)到設(shè)定迭代次數(shù)。

????②某一指標(biāo)與理想目標(biāo)的差值滿足某一最小界限。(可以理解為精度達(dá)到某一要求)

??若未達(dá)到終止條件，則轉(zhuǎn)到第二步。對(duì)于這個(gè)樣例，我采用的是 “終止方案①”。

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六、matlab代碼實(shí)現(xiàn)

clc;clear;close all; f= @(x) - (x - 10) .^ 2 + x .* sin(x) .* cos(2 * x) - 5 * x .* sin(3 * x) ; % 適應(yīng)度函數(shù)表達(dá)式(求這個(gè)函數(shù)的最大值) figure(1); fplot(f, [0 20], 'b-'); % 畫出初始圖像 d = 1; % 空間維數(shù)(該例子是1維) N = 15; % 初始種群個(gè)數(shù) x_limit = [0, 20]; % 設(shè)置位置限制 v_limit = [-1, 1]; % 設(shè)置速度限制 x = x_limit(1) + (x_limit(2) - x_limit(1)) * rand(N, d); %初始每個(gè)粒子的位置 v = rand(N, d); % 初始每個(gè)粒子的速度 pbest = x; % 初始化每個(gè)個(gè)體的歷史最佳位置 gbest = zeros(1, d); % 初始化種群的歷史最佳位置 fp_best = zeros(N, 1); % 初始化每個(gè)個(gè)體的歷史最佳適應(yīng)度 為 0 fg_best = -inf; % 初始化種群歷史最佳適應(yīng)度 為 負(fù)無窮 iter = 50; % 最大迭代次數(shù) w = 0.8; % 慣性權(quán)重 c1 = 0.5; % 自我學(xué)習(xí)因子 c2 = 0.2; % 群體學(xué)習(xí)因子 hold on; plot(x, f(x), 'ro'); title('初始狀態(tài)圖'); record = zeros(iter, 1); % 記錄器(用于記錄 fg_best 的變化過程) figure(2); i = 1; while i <= iter fx = f(x) ; % 計(jì)算個(gè)體當(dāng)前適應(yīng)度 for j = 1:N if fp_best(j) < fx(j) fp_best(j) = fx(j); % 更新個(gè)體歷史最佳適應(yīng)度pbest(j) = x(j); % 更新個(gè)體歷史最佳位置 end endif fg_best < max(fp_best) [fg_best,ind_max] = max(fp_best); % 更新群體歷史最佳適應(yīng)度gbest = pbest(ind_max); % 更新群體歷史最佳位置，其中 ind_max 是最大值所在的下標(biāo)% 注：將上面的兩個(gè)式子換成下面兩個(gè)是不可以的% [gbest, ind_max] = max(pbest); % 更新群體歷史最佳位置，其中 ind_max 是最大值所在的下標(biāo)% fg_best = fp_best(ind_max); % 更新群體歷史最佳適應(yīng)度 end v = v * w + c1 * rand() * (pbest - x) + c2 * rand() * (repmat(gbest, N, 1) - x); % 速度更新% 注： repmat(A,r1,r2):可將矩陣 擴(kuò)充 為每個(gè)單位為A的r1*r2的矩陣% 邊界速度處理 v(v > v_limit(2)) = v_limit(2);v(v < v_limit(1)) = v_limit(1); x = x + v;% 位置更新 % 邊界位置處理 x(x > x_limit(2)) = x_limit(2); x(x < x_limit(1)) = x_limit(1); record(i) = fg_best;%最大值記錄 % 畫動(dòng)態(tài)展示圖zuo_x = 0 : 0.01 : 20; plot(zuo_x, f(zuo_x), 'b-', x, f(x), 'ro');title('狀態(tài)位置變化') pause(0.1) i = i + 1; % if mod(i,10) == 0 % 顯示進(jìn)度 % i % end end figure(3); plot(record); title('收斂過程'); zuo_x = 0 : 0.01 : 20; figure(4); plot(zuo_x, f(zuo_x), 'b-', x, f(x), 'ro'); title('最終狀態(tài)圖')disp(['最佳適應(yīng)度：',num2str(fg_best)]); disp(['最佳粒子的位置x：',num2str(gbest)]);

七、運(yùn)行結(jié)果

1、各粒子的初始狀態(tài)位置

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2、各粒子的狀態(tài)位置變化圖

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3、各粒子的最終收斂位置

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4、收斂過程

??注：x 軸代表的是迭代次數(shù)，y 軸代表的是 群體的歷史最佳適應(yīng)度 $f_{gbest}$ 。

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七、粒子群優(yōu)化算法的使用流程圖

??稍微總結(jié)一下：

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八、粒子群優(yōu)化算法的特點(diǎn)：

??（1）它是一類不確定算法。不確定性體現(xiàn)了自然界生物的生物機(jī)制，并且 在求解 某些特定問題 方面優(yōu)于 確定性算法 。

??（2）是一類 概率型 的全局優(yōu)化算法。非確定算法的優(yōu)點(diǎn)在于算法能有更多機(jī)會(huì)求解全局最優(yōu)解。

??（3）不依賴于優(yōu)化問題本身的嚴(yán)格數(shù)學(xué)性質(zhì)。

??（4）是一種基于多個(gè)智能體的 仿生優(yōu)化算法 。粒子群算法中的各個(gè)智能體之間通過 相互協(xié)作 來更好的適應(yīng)環(huán)境，表現(xiàn)出與環(huán)境交互的能力。

??（5）具有自組織性、進(jìn)化性和記憶功能，所有粒子都保存有最優(yōu)解的相關(guān) 屬性 。

??（6）都具有穩(wěn)健性。穩(wěn)健性是指在不同條件和環(huán)境下算法的實(shí)用性和有效性，但是現(xiàn)在 粒子群算法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)還不夠牢固 ，算法的收斂性還需要討論。

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九、拓展知識(shí)

??上面?zhèn)€例子是針對(duì)于 1維 的情況，但是在實(shí)際生活中，我們往往是要解決多維的問題。
??雖然維度 $D$ 增加了，但 算法的核心思想還是沒有變 。
??知識(shí)代碼要做相應(yīng)的變化。下面就以 2維 的例子大致講一下。（主要是代碼變了點(diǎn)）

??假設(shè)我現(xiàn)在要解決 2維 空間的問題（比如：求如下函數(shù)的最大值問題）
$$f(x,y)=?x^2?y^2+10\times cos(2\pi x)+10?cos(2\pi y)+100，其中，x\in [?10,10]，y\in [?5,5]$$

該函數(shù)x新建在 f_xy.m 文件里面 function z = f_xy(x, y) % 適應(yīng)度函數(shù) z = - x.^2 - y.^2 + 10*cos(2*pi*x) + 10*cos(2*pi*y) + 100; end% 主調(diào)用函數(shù) clc;clear;close all; [ZuoBiao_x, ZuoBiao_y] = meshgrid(-10:0.1:10,-5:0.1:5); % 產(chǎn)生二維坐標(biāo) ZuoBiao_z = f_xy(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y); figure(1); s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z); % 畫網(wǎng)格曲面圖 s.FaceColor = 'flat'; % 修改網(wǎng)格圖的屬性% 初始化種群 N = 100; % 初始種群個(gè)數(shù) D = 2; % 空間維數(shù) iter = 50; % 迭代次數(shù) x_limit = [-10, 10; -5, 5]; % 位置限制 v_limit = [ -2, 2; -1, 1]; % 速度限制 x = zeros(N, D); for i = 1:D x(:,i) = x_limit(i, 1) + (x_limit(i, 2) - x_limit(i, 1)) * rand(N, 1);%初始種群的位置 end v(:,1) = rands(N, 1) * 1; % 初始種群x方向的速度 v(:,2) = rands(N, 1) * 2; % 初始種群y方向的速度 p_best = x; % (初始化)每個(gè)個(gè)體的歷史最佳位置 f_best = zeros(1, D); % (初始化)種群的歷史最佳位置 fp_best = zeros(N, 1) - inf; % (初始化)每個(gè)個(gè)體的歷史最佳適應(yīng)度為負(fù)無窮 fg_best = -inf; % (初始化)種群歷史最佳適應(yīng)度為負(fù)無窮w = 0.8; % 慣性權(quán)重 c1 = 0.5; % 自我學(xué)習(xí)因子 c2 = 0.5; % 群體學(xué)習(xí)因子 figure(2); s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z); % 畫網(wǎng)格曲面圖 s.FaceColor = 'flat'; % 修改網(wǎng)格圖的屬性 hold on; plot3(x(:,1), x(:,2),f_xy(x(:,1), x(:,2)), 'ro'); title('初始狀態(tài)圖'); figure(3); i = 1; record = zeros(iter, 1); % 記錄器 while i <= iter fx = f_xy(x(:,1), x(:,2)); % 個(gè)體當(dāng)前適應(yīng)度 for j = 1:N if fp_best(j) < fx(j) % 記錄最大值fp_best(j) = fx(j); % 更新個(gè)體歷史最佳適應(yīng)度 p_best(j,:) = x(j,:); % 更新個(gè)體歷史最佳位置 end end if fg_best < max(fp_best) [fg_best, ind_max] = max(fp_best); % 更新群體歷史最佳適應(yīng)度 f_best = p_best(ind_max, :); % 更新群體歷史最佳位置 end v = v * w + c1 * rand() * (p_best - x) + c2 * rand() * (repmat(f_best, N, 1) - x); % 速度更新% 速度處理for t=1:Nfor k=1:Dif v(t,k) > v_limit(k,2) % 超速處理v(t,k) = v_limit(k,2);elseif v(t,k) < v_limit(k,1) % 慢速處理v(t,k) = v_limit(k,1);end endendx = x + v; % 位置更新% 邊界處理for t=1:Nfor k=1:Dif x(t,k) > x_limit(k,2) % 超過邊界上限x(t,k) = x_limit(k,2);elseif x(t,k) < x_limit(k,1) % 超過邊界下限x(t,k) = x_limit(k,1);endendendrecord(i) = fg_best; % 最大值記錄 i = i + 1;if mod(i,10) == 0i % 收斂進(jìn)度輸出endpause(0.1) endfigure(4) plot(record); title('收斂過程');% 畫最終狀態(tài)圖 figure(5); [ZuoBiao_x, ZuoBiao_y] = meshgrid(-10:0.1:10,-5:0.1:5); % 產(chǎn)生二維坐標(biāo) s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z); % 畫網(wǎng)格曲面圖 s.FaceColor = 'flat'; % 修改網(wǎng)格圖的屬性 hold on; scatter3(x(:,1), x(:,2), f_xy(x(:,1), x(:,2)), 'ro'); title('最終狀態(tài)圖')disp(['最大值：',num2str(fg_best)]); disp(['變量取值：',num2str(f_best)]);% 下面一段用來輸出 粒子群最佳適應(yīng)度的排行榜 [socre,ind] = sort(fp_best, 'descend') % 降序排序 DaAn = zeros(3,2); for i=1:Nrow = ind(i);DaAn(i,:) = p_best(row,:); end

??運(yùn)行結(jié)果：

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十、總結(jié)：

??本文細(xì)分目錄，從頭到尾 大致 講解了PSO的定義、原理、實(shí)現(xiàn)、配合樣例和相關(guān)拓展。主要內(nèi)容如下：

??①粒子群優(yōu)化算法是什么？

??②粒子群優(yōu)化算法(PSO)是什么？

??③粒子群優(yōu)化算法有什么用？

??④粒子群優(yōu)化算法的適用范圍？

??⑤算法簡(jiǎn)介(有助于理解)

??⑥算法的實(shí)現(xiàn)流程

??⑦matlab代碼實(shí)現(xiàn)

??⑧粒子群優(yōu)化算法的使用流程圖

??⑨粒子群優(yōu)化算法的特點(diǎn)

??⑩拓展知識(shí)（1維→多維）

??最后，我沒有 非常深入 地闡述其原理，只闡述了有什么用、怎么用。如要了解詳細(xì)的原理，可以看看文章最后的 參考附錄 📚。

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十一、參考附錄：

[1] 《粒子群優(yōu)化算法(PSO)》
閱讀這篇文章可以知道 PSO 的 研究背景、來源和主要應(yīng)用
鏈接: https://blog.csdn.net/weixin_40679412/article/details/80571854.

[2] 《粒子群優(yōu)化算法 很好的博客》
這篇文章的最后講解了c₁、c₂的深刻含義。
鏈接: https://blog.csdn.net/zqx951102/article/details/89927955.

數(shù)學(xué)建模系列文章——總結(jié)篇：《數(shù)模美一國(guó)一退役選手的經(jīng)驗(yàn)分享[2021紀(jì)念版]》.

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?? ??

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模——粒子群优化算法(PSO)【有详细样例 + 工具：matlab】（万字总结)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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