數(shù)學建模典型例題

文章編號：1006-1576(2007)12-0094-03

基于MATLAB的三種群食餌－捕食者模型數(shù)值解

山玉林，唐家德

(楚雄師范學院 數(shù)學系，云南 楚雄 675000)

摘要：基于MATLAB的植物、哺乳動物、爬行動物三種群食餌-捕食者模型數(shù)值求解，先建立描述三種群數(shù)量變化規(guī)律的微分方程模型，利用MATLAB求微分方程組的數(shù)值解，通過對數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察，猜測其解析解的構(gòu)造。最后對模型進行改進，求出三種群在同一環(huán)境里相互依存而共生的平衡點。

關(guān)鍵詞：種群；食餌-捕食者模型；數(shù)值解；平衡點 中圖分類號：O175.14 文獻標識碼：A

Numerical Solution of Bait-Predator Model Derived from Three Biological

Populations Based on MATLAB

SHAN Yu-lin, TANG Jia-de

(Dept. of Mathematics, Chuxiong Normal University, Chuxiong 675000, China)

Abstract: Numerical solution of bait-predator model between plants, mammals, and reptiles is studied based on MATLAB. First establish a differential equation model to describe the numerical changes of three populations. Then the equations are solved by using MATLAB, through the numerical solution and the graph observation, guesses its analytic solution construction. Finally, the model is improved and obtained the equilibrium point of intergrowth and interdependent relation of three populations in the same environment.

Keywords: Biological population; Bait-predator model; Numerical solution; Equilibrium points

0 引言

自然界中不同種群間存在著相互依存、相互制約的生存方式。假設(shè)一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物，長著茂盛的植物，爬行動物以哺乳動物為食，哺乳動物又依賴植物生存，建立描述三種群數(shù)量變化規(guī)律的微分方程模型。

哺乳動物增長率減小，設(shè)減小的程度與爬行動物的數(shù)量成正比，式(2)右端應減去爬行動物對哺乳動物增長的阻滯作用，得出哺乳動物的模型為： 2(t)=x2( r2+λ2x1 μx3) (3) x

1 基本模型(Volterra模型)

把植物、哺乳動物、爬行動物的數(shù)量分別記為

x1(t)、x2(t)、x3(t)。若不考慮自然資源對植物的限制，植物獨立生存時以指數(shù)規(guī)律增長，相對增長率

1(t)=r1x1，而哺乳動物的存在使植物的增為r1，即x

長率減小。設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于

是植物的模型為：

1(t)=x1(r1 λ1x2) (1) x

比例系數(shù)λ1反映哺乳動物掠取植物能力。設(shè)哺

比例系數(shù)μ反映爬行動物掠取哺乳動物的能

力。設(shè)爬行動物獨自存在時死亡率為r3，即 3(t)= r3x3，而哺乳動物的存在為爬行動物提供食x

物，促使爬行動物的增長，即爬行動物的死亡率降低，爬行動物的模型為：

3(t)=x3( r3+λ3x2) (4) x

比例系數(shù)λ3反映哺乳動物對爬行動物的供養(yǎng)能力。式(1)、式(3)、式(4)構(gòu)成植物、哺乳動物、爬行動物三者依存、制約現(xiàn)象的數(shù)學模型，即：

1(t)=x1(r1 λ1x2) x

x2(t)=x2( r2+λ2x1 μx3) (5) x

3(t)=x3( r3+λ3x2)

2(t)= r2x2，而植乳動物獨自存在時死亡率為r2，即x

物為哺乳動物提供食物，促使哺乳動物增長，即死亡率降低，設(shè)這種作用與植物數(shù)量成正比，則有：

2(t)=x2( r2+λ2x1) (2) x

2 模型分析

微分方程組(5)沒有解析解，利用MATLAB求

式(5)的數(shù)值解，通過對數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察，猜測其解析解的構(gòu)造。記植物、哺乳動物、爬行動物的初始數(shù)量分別為：

比例系數(shù)λ2反映植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力。哺乳動物為爬行動物提供食物，爬行動物的存在使

x1(0)=x10, x2(0)=x20, x3(0)=x30 (6)

收稿日期：2007-06-13；修回日期：2007-11-03 作者簡介：山玉林(1964-)，男，漢，云南人，副教授，1985年西南師范大學畢業(yè)，從事應用數(shù)學的教學與研究。

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總結(jié)

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