差分方程預測模型

差分方程人口預測模型

一、名詞和符號說明

名詞解釋：

(1)擬合: 對于某個變化過程中的多個相互依賴的變量，可建立適當的數學模型，用于分析預報決策或控制該過程.對于兩個變量可通過用一個一元函數去模擬這兩個變量的取值.用不同的方法可得到不同的模擬函數.下面使用圖表介用Mathematica做曲線擬合。

(2)差分方程:含有自變量，未知函數以及未知函數差分的函數方程，稱為差分方程。

(3)迭代法:是牛頓在17世紀提出的一種求解方程f(x)=0.多數方程不存在求根公式，從而求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。 設r是f(x)=0的根，選取x0作為r初始近似值，過點(,f())做曲線y=f(x)的切線L，L的方程為,求出L與x軸交點的橫坐標 ,稱為r的一次近似值，過點(,f())做曲線y=f(x)的切線，并求該切線與x軸的橫坐標稱為r的二次近似值，重復以上過程，得r的近似值序列{Xn},其中,稱為r的n+1次近似值。上式稱為牛頓迭代公式。 第 k年i歲的女性總人數

女性人口的(按年齡)分布向量

第k年i歲的女性生育率

第k年i歲的女性死亡率

第 k年i歲的女性存活率

i歲女性的生育模式 k年總和生育率(控制人口數量的主要參數)

A 存活率矩陣

B 生育模式矩陣

二、模型假設

針對本題中出現的數據的代表意義和建立模型時能夠使問題理想化、簡單化，我們應用已知數據，將時間離散化, ,因此本模型考慮女性人口的發展變化假設女性最大年齡為歲,,1年為1個時段，不考慮同一時間間隔內人口數量的變化不考慮生存空間等自然資源的制約,不考慮意外災難等因素對人口變化的影響生育率僅與年齡有關,存活率也僅與年齡有關我們來建立一個離散的人口增長模型, 女性人口的發展變化Leslie人口模型,用差分方程:第k年i歲的女性生育率; : k年總和生育率，或生育胎次;

:第k年i歲的女性死亡率; :第 k年i歲的女性存活率

: i歲女性的生育模式

，

用表示女性人口的(按年齡)分布向量,記A=

B=則模型應表示為：

=A+B

利用matlab軟件編程求解，程序如下：

c=zeros(91);

d1=[ … … ];

for i=1:91

for j=1:91

if i==j

c(i+1,j)=d1(i)

end

end

end

A=c1

a1=[ … … ];

b=zeros(91);

for i=1:35

b(1,i+15)=a1(i)

end

B=b1;

=[ … …] %2001對應初始值

y=zeros(91,n)%n表示要預測年數

y(:,1)= ；

for k=1:19

y(:,k+1)=A*y(:,k)+(k)*B*y(:,k)

end

(一)用此模型預測中短期女性人口變化趨勢

考慮到男女性別比例波動不大，所以女性人口數量的發展趨勢可以預測全國總人口的發展趨勢。

對所給數據進行處理，發現近期(k)變化很小，這里我們取=/5即：市：=1；鎮：=1.254；鄉：=1.649，代入模型方程，得：

x(k)=……………………………………………………………(3.3-1)

x(k)=………………………………………………………(3.3-2)

x(k)=………………………………………………………(3.3-3)

分別代入k=20,即可算出市、鄉、鎮從2001年到未來20年的預測數值。

分別取2002、2004年的數據擬合，情況如下：

圖3-1 2002、2004擬合趨勢圖

由上圖可看出，擬合情況較好，此模型可用于短期預測，預測趨勢圖如下：

圖3-2

預測數據表為：

表3-1

年份20012005201020152020女性人口數5.97E+086.37E+086.83E+087.34E+087.74E+08通過上面的預測數據和圖像，可看出2020年之前女性人口呈增長趨勢，全國人口總數也呈增長趨勢。

(二)長期預測

進行長期預測時，考慮到國家計劃生育一對夫婦只生一個孩子的政策，取=1,則模型可化簡為 = 其中為2001年女性人口分布向量。

圖3-3模型檢驗擬合圖

利用數據來檢驗我們建立的差分方程模型，發現數據基本吻合，說明模型是很準確的，可以用此模型進行長期預測。

利用方程預測的女性總人口數據如下：

表3-2

年份20012005201020152020202520302035204020452050女性總人口

總結

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