實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告

專(zhuān)業(yè)：美術(shù) 班級(jí)：(1)班 指導(dǎo)老師：牛老師

姓名：某某某 學(xué)號(hào)：123456789 實(shí)驗(yàn)室：110

實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)： 餓狼追兔問(wèn)題 時(shí)間：2012年10

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?/p>

理解二階微分法在建模過(guò)程中的應(yīng)用，熟悉利用MATLAB軟件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的廣泛性

二、問(wèn)題的分析

現(xiàn)有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米處，假設(shè)兔子與狼同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問(wèn)兔子能否安全回到巢穴？

(1)分析餓狼追野兔的運(yùn)動(dòng)模型。餓狼追野兔過(guò)程中，野兔的目的是要在餓狼捉住自己之前跑到自己的巢穴，假如惡狼知道野兔巢穴的具體位置，根據(jù)題目所給，餓狼完全可以先兔子跑到其巢穴，然后在那里守株待兔，野兔則難逃餓狼之口。那樣餓狼的軌跡就是一條直線，只需簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算就可以完成。

(2)但這是一個(gè)理想化的實(shí)際問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中由于餓狼不可能知道兔子巢穴的具體位置，因此它的速度的方向永遠(yuǎn)是朝著兔子的，兔子一直向北跑，相對(duì)于餓狼來(lái)說(shuō)兔的角度在時(shí)刻的變化，所以最終餓狼的軌跡是一條曲線。而兔子能否活下來(lái)，還是一個(gè)需要經(jīng)過(guò)具體較復(fù)雜計(jì)算的問(wèn)題。

三、模型的建立與求解

初始時(shí)刻(t=0)兔子位于原點(diǎn)(0,0)，餓狼位于(100,0)；兔子以常速度v0沿y軸跑，餓狼在t時(shí)刻的位置為(x,y)，其速度為v1=2v0；餓狼在追兔子過(guò)程中一直向著兔子的方向，則：

餓狼在t時(shí)刻其追趕曲線的切線方程為

Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)

其中(X,Y)為切線上動(dòng)點(diǎn)。

又餓狼在追兔子過(guò)程中一直向著兔子的方向，則t時(shí)刻兔子(0,v0t)在切線上，所以v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)

從而餓狼追趕軌跡由下方程組確定

(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)

(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)

由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，兩邊對(duì)t求導(dǎo)并化簡(jiǎn)

(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)

由(2)有 (dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12

即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2 (注這里取負(fù)號(hào)，是由這個(gè)追趕曲線——上圖，決定的)

代入(3)，并把v1=2v0代入并化簡(jiǎn)得

(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2 (4)

這是一個(gè)二階微分方程，它滿足初始條件y(100)=0

令p= dy/dx，這dp/dx= d2y/dx2，這(4)化為

(dp/dx)*x=[1+p2]1/2/2，可分離變量求得

ln{p+[1+p2]1/2/2

又p(100)=0，所以c=-ln10，從而

p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10

這p=( x1/2/10-10/x1/2)/2

即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，從而

y=(x-300)*x1/2/30+c，又y(100)=0

則

y=(x-300)*x1/2/30+200/3

令x=0，得

y(0)=200/3>60

故兔子沒(méi)有有危險(xiǎn)

常微分方程高階初值問(wèn)題的MATLAB庫(kù)函數(shù)為：ode45。

語(yǔ)法為：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)

例如函數(shù)： function dy = rigid(t,y)

dy = zeros(3,1); % a column vector

dy(1) = y(2) * y(3);

dy(2) = -y(1) * y(3);

dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

設(shè)置選項(xiàng)：

options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);

求解得：

[t,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options);

畫(huà)出解函數(shù)曲線圖形：

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')

但是我們決定不用題目中給的函數(shù)，而是采用另一個(gè)函數(shù)：

r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')，這個(gè)函數(shù)的作用是把常微分方程(無(wú)論是一階還是高階)轉(zhuǎn)化成不帶有求導(dǎo)的一般性方程，但是一般情況下經(jīng)過(guò)這種函數(shù)轉(zhuǎn)化之后，得到

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab恶狼追兔问题,饿狼追兔问题-数学建模.doc的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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