實 驗 報 告

專業：美術 班級：(1)班 指導老師：牛老師

姓名：某某某 學號：123456789 實驗室：110

實驗名稱： 餓狼追兔問題 時間：2012年10

一、實驗目的及要求

理解二階微分法在建模過程中的應用，熟悉利用MATLAB軟件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的廣泛性

二、問題的分析

現有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米處，假設兔子與狼同時發現對方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問兔子能否安全回到巢穴？

(1)分析餓狼追野兔的運動模型。餓狼追野兔過程中，野兔的目的是要在餓狼捉住自己之前跑到自己的巢穴，假如惡狼知道野兔巢穴的具體位置，根據題目所給，餓狼完全可以先兔子跑到其巢穴，然后在那里守株待兔，野兔則難逃餓狼之口。那樣餓狼的軌跡就是一條直線，只需簡單的數學計算就可以完成。

(2)但這是一個理想化的實際問題，在這個問題中由于餓狼不可能知道兔子巢穴的具體位置，因此它的速度的方向永遠是朝著兔子的，兔子一直向北跑，相對于餓狼來說兔的角度在時刻的變化，所以最終餓狼的軌跡是一條曲線。而兔子能否活下來，還是一個需要經過具體較復雜計算的問題。

三、模型的建立與求解

初始時刻(t=0)兔子位于原點(0,0)，餓狼位于(100,0)；兔子以常速度v0沿y軸跑，餓狼在t時刻的位置為(x,y)，其速度為v1=2v0；餓狼在追兔子過程中一直向著兔子的方向，則：

餓狼在t時刻其追趕曲線的切線方程為

Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)

其中(X,Y)為切線上動點。

又餓狼在追兔子過程中一直向著兔子的方向，則t時刻兔子(0,v0t)在切線上，所以v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)

從而餓狼追趕軌跡由下方程組確定

(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)

(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)

由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，兩邊對t求導并化簡

(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)

由(2)有 (dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12

即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2 (注這里取負號，是由這個追趕曲線——上圖，決定的)

代入(3)，并把v1=2v0代入并化簡得

(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2 (4)

這是一個二階微分方程，它滿足初始條件y(100)=0

令p= dy/dx，這dp/dx= d2y/dx2，這(4)化為

(dp/dx)*x=[1+p2]1/2/2，可分離變量求得

ln{p+[1+p2]1/2/2

又p(100)=0，所以c=-ln10，從而

p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10

這p=( x1/2/10-10/x1/2)/2

即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，從而

y=(x-300)*x1/2/30+c，又y(100)=0

則

y=(x-300)*x1/2/30+200/3

令x=0，得

y(0)=200/3>60

故兔子沒有有危險

常微分方程高階初值問題的MATLAB庫函數為：ode45。

語法為：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)

例如函數： function dy = rigid(t,y)

dy = zeros(3,1); % a column vector

dy(1) = y(2) * y(3);

dy(2) = -y(1) * y(3);

dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

設置選項：

options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);

求解得：

[t,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options);

畫出解函數曲線圖形：

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')

但是我們決定不用題目中給的函數，而是采用另一個函數：

r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')，這個函數的作用是把常微分方程(無論是一階還是高階)轉化成不帶有求導的一般性方程，但是一般情況下經過這種函數轉化之后，得到

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab恶狼追兔问题,饿狼追兔问题-数学建模.doc的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。