9-4目錄 李氏穩(wěn)定性理論的簡介 向量和矩陣的范數(shù) 矩陣范數(shù) 二次型函數(shù)及矩陣表示 二次型函數(shù)的定號性 正定的充要條件 判斷定號性 兩種方法證明正定 系統(tǒng)穩(wěn)定分類 對象及其平衡狀態(tài) 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 漸近穩(wěn)定 大范圍(全局)漸近穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 定理1 、2、3 分析系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 例題 李雅普諾夫第二方法簡介 李雅普諾夫函數(shù)及穩(wěn)定性定理 在原點漸近穩(wěn)定 幾何意義 例題 定理3 定理4 例題 例題 討論 討論續(xù) 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 漸近穩(wěn)定的充要條件 例題 例題續(xù) MATLAB 離散系統(tǒng)李雅普諾夫穩(wěn)定性 小結(jié) 解： 【例】 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試分析其穩(wěn)定性。 定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 是大范圍一致漸進穩(wěn)定 定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 我們通過下列MATLAB程序求P 矩陣： %LYAP example 4-3 A=[0 1;-1 -1]; A=A'; ％將A轉(zhuǎn)置 Q=[1 0;0 1]; P=lyap(A,Q) end 運行結(jié)果為：P = 1.5000 0.5000 0.5000 1.0000 MATLAB中有一個LYAP(A,Q)函數(shù)可以求出如下形式的李雅普諾夫方程： ????????????????????? ATP+PA=-Q 定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 Page: * 現(xiàn)代控制理論 Modern Control Theory 1.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 2.李雅普諾夫第一法(間接法) 3.李雅普諾夫第二法(直接法) 4.線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性是一個控制系統(tǒng)工作的首要、必要條件。 經(jīng)典控制理論判穩(wěn)方法： 勞斯判據(jù)、根軌跡法、奈氏判據(jù)、對數(shù)頻率判據(jù): 適用范圍：線性定常系統(tǒng)，不適用于非線性和時變系統(tǒng)。 描述函數(shù)法: 要求系統(tǒng)線性部分具有良好的濾波性能。 相平面法: 只適合于一階、二階非線性系統(tǒng)。 1892年俄國學(xué)者李雅普諾夫(Lyapunov)提出的穩(wěn)定性理論 不僅適用于單變量線性系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性、時變 系統(tǒng),它是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般理論。 1、向量空間上的歐幾里德范數(shù)(即向量長度) 其歐幾里德范數(shù)定義為： 一般 一、向量和矩陣的范數(shù) 預(yù)備知識 矩陣 的范數(shù)定義為： 【例】 ， 則 即:矩陣每個元素平方和開根號 預(yù)備知識 2、矩陣范數(shù) 1．二次型函數(shù)：由n個變量 組成的二次齊次多項式，稱(n元)二次型函數(shù) 2．二次型函數(shù)的矩陣表示 通常P為對稱方陣 預(yù)備知識 二、二次型函數(shù)及矩陣表示 1)正定：若對于任何 ，總有 設(shè)二次型函數(shù) 2)正半定： 為正半定，P為正半定陣 (P≥0) 稱 P稱為負(fù)定陣，記作P<0 3) 負(fù)定：若 -V(x)正定，則稱V(x)負(fù)定 4) 負(fù)半定： 預(yù)備知識 3．二次型函數(shù)的定號性 5) 不定：能找到 -x≠0，使 又能找到-x≠0，使V(x)<0, 稱其為不定 實二次型 是正定的充要條件是矩陣 的各順序主子行列式均大于零， ， ，…， 則 正定，且稱 為正定矩陣。 當(dāng)矩陣 的各順序主子行列式負(fù)、正相間時，即 ， ，…， 則 負(fù)定，且稱 為負(fù)定矩陣。 預(yù)備知識 【例】設(shè)X為二維向量，判其定號性。 1) 2) 3) 4) 5) 不定 半負(fù)定 負(fù)定 半正定 正定 【例】試用兩種方法證明下列二次型函數(shù)式正定的？ 解： [方法一] 順序主子式法： [方法二]：配方法 當(dāng) x≠0時，V(x)>0, 所以正定 一、系統(tǒng)穩(wěn)定分類 1、外部穩(wěn)定性： 若系統(tǒng)對所有有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出是有界的， 則稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。 (外部穩(wěn)定性也稱為BIBO(Bounded Input Bounded Output)穩(wěn)定性) 線性定常連續(xù)系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)矩陣為 當(dāng)且僅當(dāng) 極點都在s的左半平面內(nèi)時，系統(tǒng)才是外部穩(wěn)定(或BIBO穩(wěn)定)的。 2、內(nèi)部穩(wěn)定性： 系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無關(guān)。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性都是相對平衡狀態(tài)而言的。 李雅普諾夫穩(wěn)定性 二、對象及其平衡狀態(tài) 1、系統(tǒng)： 其解： 李氏穩(wěn)定性問題就是研究系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)附近自由運動的行為特征。 2、自治系統(tǒng)： 沒有外界輸入作用的系統(tǒng)叫自治系統(tǒng)。 對于此無外加激勵系統(tǒng)，能維持在某狀態(tài)不再變化 即 則稱 為該系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 3、平衡狀態(tài)： 李雅普諾夫穩(wěn)定性 三、 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義 定義： 1.李雅普諾夫意義下的

總結(jié)

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