控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)---MATLAB語言與應(yīng)用 第四章 穩(wěn)定性 與李雅普諾夫方法 穩(wěn)定性是一個(gè)控制系統(tǒng)工作的首要、必要條件。 經(jīng)典控制理論判穩(wěn)方法： 勞斯判據(jù)、根軌跡法、奈氏判據(jù)、對數(shù)頻率判據(jù). 適用范圍：線性定常系統(tǒng)，不適用于非線性和時(shí)變系統(tǒng)。 描述函數(shù)法: 要求系統(tǒng)線性部分具有良好的濾波性能。 相平面法: 只適合于一階、二階非線性系統(tǒng)。 早在1892年,俄國學(xué)者李雅普諾夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 發(fā)表題為“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問題”的著名文獻(xiàn),建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的一般理論。 1892年俄國學(xué)者李雅普諾夫(Lyapunov)提出的穩(wěn)定性理論，給出了兩種判別方法： Lyapunov第一法和Lyapunov第二法 不僅適用于單變量線性系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng),它是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般理論; Lyapunov第一法：通過求解系統(tǒng)微分方程，根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性; Lyapunov第二法：不用求解方程，通過Lyapunov函數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 補(bǔ)充知識(shí) 4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義 4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義 4.2 李雅普諾夫第一法 Lyapunov第一法又稱間接法。它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 對于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根就可以作出穩(wěn)定性判斷。 對于非線性不是很嚴(yán)重的系統(tǒng)，則可以通過線性化處理，得到近似線性方程，然后再來判斷。 4.2 李雅普諾夫第一法 定義：若所有有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)輸出有界，則稱系統(tǒng)為有界輸入輸出穩(wěn)定。(BIBO) 注： 1.由于傳遞函數(shù)陣中出現(xiàn)了零極點(diǎn)對消的情況: 2.只有當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不出現(xiàn)零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，并且矩陣A的特征值和傳遞函數(shù)的極點(diǎn)相同時(shí)，內(nèi)部穩(wěn)定才和BIBO穩(wěn)定一致。 4.2 李雅普諾夫第一法 4.3 Lyapunov第二法 李氏第二法稱為直接法，建立在用能量觀點(diǎn)分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上 。 若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)激勵(lì)后其存儲(chǔ)的能量將隨著時(shí)間的推移而衰減; 當(dāng)趨于平衡狀態(tài)時(shí)，其能量達(dá)到最小值; 反之，若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，則系統(tǒng)將不斷從外界吸收能量，其存儲(chǔ)的能量將越來越大。 4.3 Lyapunov第二法 4.3 Lyapunov第二法 ` 李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù) 例1 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。 4.3 Lyapunov第二法 注： 恒等于零，這時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡將落 在某個(gè)特定的曲面上。這就意味著運(yùn)動(dòng) 軌跡不會(huì)收斂于原點(diǎn)。這種情況對應(yīng)于 非線性系統(tǒng)中的極限環(huán)或是線性系統(tǒng)中 的臨界穩(wěn)定。 不恒等于零，這時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡只 在某個(gè)時(shí)刻與某個(gè)特定的曲面相切，運(yùn) 動(dòng)軌跡通過切點(diǎn)后并不停留而繼續(xù)向原 點(diǎn)收斂。這種情況仍然屬于漸近穩(wěn)定。 4.3 Lyapunov第二法 4.3 Lyapunov第二法 由上節(jié)知,李雅普諾夫第二法是分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,但具體運(yùn)用時(shí)將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由于各類系統(tǒng)的復(fù)雜性,在應(yīng)用李雅普諾夫第二法時(shí),難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法。 目前的處理方法是,針對系統(tǒng)的不同分類和特性,分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法。 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn): 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時(shí),系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡態(tài)xe=0,即為狀態(tài)空間原點(diǎn); 若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe=0的某個(gè)鄰域上是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的; 對于該線性系統(tǒng),其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。 4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用 證明 (1) 先證充分性。 即證明,若對任意的正定矩陣Q,存在正定矩陣P 滿足方程 ATP+PA=-Q 則平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。 證明思路： (2) 再證必要性。 即證明:若系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的,則對任意給 定的正定矩陣Q,必存在正定矩陣P滿足矩陣方程： PA+ATP=-Q 證明思路： 由正定矩陣Q構(gòu)造滿足矩陣方程PA+ATP=-Q的正定矩陣P。 證明過程為： 對任意給定的正定矩陣Q,構(gòu)造矩陣P如下

總結(jié)

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