控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用 第四章 穩定性 與李雅普諾夫方法 穩定性是一個控制系統工作的首要、必要條件。 經典控制理論判穩方法： 勞斯判據、根軌跡法、奈氏判據、對數頻率判據. 適用范圍：線性定常系統，不適用于非線性和時變系統。 描述函數法: 要求系統線性部分具有良好的濾波性能。 相平面法: 只適合于一階、二階非線性系統。 早在1892年,俄國學者李雅普諾夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 發表題為“運動穩定性一般問題”的著名文獻,建立了關于運動穩定性研究的一般理論。 1892年俄國學者李雅普諾夫(Lyapunov)提出的穩定性理論，給出了兩種判別方法： Lyapunov第一法和Lyapunov第二法 不僅適用于單變量線性系統，還適用于多變量、非線性、時變系統,它是確定系統穩定性的更一般理論; Lyapunov第一法：通過求解系統微分方程，根據解的性質來判斷系統的穩定性; Lyapunov第二法：不用求解方程，通過Lyapunov函數來判斷系統的穩定性。 補充知識 4.1李雅普諾夫關于穩定性的定義 4.1李雅普諾夫關于穩定性的定義 4.2 李雅普諾夫第一法 Lyapunov第一法又稱間接法。它的基本思路是通過系統狀態方程的解來判斷系統的穩定性。 對于線性定常系統，只需解出特征方程的根就可以作出穩定性判斷。 對于非線性不是很嚴重的系統，則可以通過線性化處理，得到近似線性方程，然后再來判斷。 4.2 李雅普諾夫第一法 定義：若所有有界輸入引起的零狀態響應輸出有界，則稱系統為有界輸入輸出穩定。(BIBO) 注： 1.由于傳遞函數陣中出現了零極點對消的情況: 2.只有當系統的傳遞函數不出現零極點相消現象，并且矩陣A的特征值和傳遞函數的極點相同時，內部穩定才和BIBO穩定一致。 4.2 李雅普諾夫第一法 4.3 Lyapunov第二法 李氏第二法稱為直接法，建立在用能量觀點分析穩定性的基礎上 。 若系統的平衡狀態是漸近穩定，則系統激勵后其存儲的能量將隨著時間的推移而衰減; 當趨于平衡狀態時，其能量達到最小值; 反之，若系統的平衡狀態是不穩定的，則系統將不斷從外界吸收能量，其存儲的能量將越來越大。 4.3 Lyapunov第二法 4.3 Lyapunov第二法 ` 李雅普諾夫(Lyapunov)函數 例1 試確定用如下狀態方程描述的系統的平衡態穩定性。 4.3 Lyapunov第二法 注： 恒等于零，這時的運動軌跡將落 在某個特定的曲面上。這就意味著運動 軌跡不會收斂于原點。這種情況對應于 非線性系統中的極限環或是線性系統中 的臨界穩定。 不恒等于零，這時的運動軌跡只 在某個時刻與某個特定的曲面相切，運 動軌跡通過切點后并不停留而繼續向原 點收斂。這種情況仍然屬于漸近穩定。 4.3 Lyapunov第二法 4.3 Lyapunov第二法 由上節知,李雅普諾夫第二法是分析動態系統的穩定性的有效方法,但具體運用時將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數來分析系統的穩定性。 由于各類系統的復雜性,在應用李雅普諾夫第二法時,難于建立統一的定義李雅普諾夫函數的方法。 目前的處理方法是,針對系統的不同分類和特性,分別尋找建立李雅普諾夫函數的方法。 設線性定常連續系統的狀態方程為 這樣的線性系統具有如下特點: 當系統矩陣A為非奇異時,系統有且僅有一個平衡態xe=0,即為狀態空間原點; 若該系統在平衡態xe=0的某個鄰域上是漸近穩定的,則一定是大范圍漸近穩定的; 對于該線性系統,其李雅普諾夫函數一定可以選取為二次型函數的形式。 4.4 李雅普諾夫方法在線性系統中的應用 證明 (1) 先證充分性。 即證明,若對任意的正定矩陣Q,存在正定矩陣P 滿足方程 ATP+PA=-Q 則平衡態xe=0是漸近穩定的。 證明思路： (2) 再證必要性。 即證明:若系統在xe=0處是漸近穩定的,則對任意給 定的正定矩陣Q,必存在正定矩陣P滿足矩陣方程： PA+ATP=-Q 證明思路： 由正定矩陣Q構造滿足矩陣方程PA+ATP=-Q的正定矩陣P。 證明過程為： 對任意給定的正定矩陣Q,構造矩陣P如下

總結

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