一、數據插值：

插值是在一組已知數據點的范圍內添加新數據點的技術。可以使用插值來填充缺失的數據、對現有數據進行平滑處理以及進行預測等。MATLAB 中的插值技術可分為適用于網格上的數據點和散點數據點。從數學上來說，數據插值是一種函數逼近的方法。

數據插值的實現方法：

1、一維插值函數為interp1(),

調用格式：

y = interp1(X,Y,X1,method)

該式可以根據X，Y的值來計算函數在X1處的值。其中X，Y是兩個等長的已知向量，分別表示采樣點和采樣值。X1是一個向量或標量，表示要插值的點。

method參數表示用于插值的方法，常用的取值由一下幾種方法：

(1) linear: 線形插值，默認方法。將與插值點靠近的兩個數據點用直線連接，然后在直線上選取對應插值點的數據。

(2) nearest: 最近點插值。 選擇最近樣本點的值作為插值數據。

(3) pchip: 分段3次埃爾米特插值。采用分段三次多項式，除滿足插值條件，還需滿足在若干節點處相鄰段插值函數的一階導數相等，使得曲線光滑的同時，還具有保形性。

(4) spline: 3次樣條插值。每一個分段你內構造一個三次多項式，使其插值函數除滿足插值條件外，還要求在各節點處具有連續的一階和二階導數。

>> x = [0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];

>> y = [0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];

>> x1 = 0:0.1:15;

>> y1 = interp1(x,y,x1,'spline');

>> plot(x1,y1)

以上四種方法的區別：

線形插值和最近點插值方法比較簡單。其中線形插值方法的計算量與樣本點n 無關。n越大，誤差越小。

3次埃爾米特插值和3次樣條插值都能保證曲線的光滑性。相比較而言，3次埃爾米特插值具有保形性，而3次樣條插值要求其二階導數也連續，所以插值函數的性態更好。pchip和spline方法插值的區別?blog.csdn.net

MATLAB的二維插值函數為interp2(),

調用格式：y1 = interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)

其中X，Y兩個向量，表示兩個參數的采樣點，Z是采樣點對應的函數值。X1，Y1是連個標量或向量，表示要插值的點。指定的算法method計算二維插值。linear為雙線性插值算法(默認算法)，nearest為最臨近插值，spline為三次樣條插值，cubic為雙三次插值。

關于數據插值下面有個優秀的總結：插值與擬合?blog.csdn.net

MATLAB中拉格朗日插值的實現：https://blog.csdn.net/m0_37395228/article/details/80874393?blog.csdn.net

MATLAB中牛頓插值的實現：https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/41725983?blog.csdn.nethttps://blog.csdn.net/m0_37395228/article/details/80875351?blog.csdn.net

二、曲線擬合：

曲線擬合是一種函數逼近的方法。可以分為線形擬合和非線性擬合。

曲線擬合的原理：對于y = f(x),通過構造一個函數g(x)取逼近未知函數f(x)，使得誤差在某種意義下達到最小。

一般使用多項式函數作為逼近函數，使用最小二乘法計算誤差最小。

曲線擬合的實現方法：

使用polyfit()函數，其功能為求得最小二乘擬合多項式系數。

(1)線形曲線擬合:

調用格式：

(1) P= polyfit(X,Y,m)

(2) [P,S] = polyfit(X,Y,m)

(3) [P,S,mu] = polyfit(X,Y,m)

上述式子中的X，Y樣本數據，m為擬合多項式的次數，一般為3次以內。

P為多項式的系數降冪向量，S為誤差數據，mu是一個二元向量，mu(1)是mean(X), mu(2) 是std(X).

>> x = [1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]';

>> y = [0.9 1.7 2.2 2.6 3.0]';

>> a = polyfit(x,y,1) %次數1為一次線形擬合，相當于設定擬合函數為g(x) = a*x+b,求a和b

a =

1.0200 0.0400 %此處兩個值為上述g(x)的a和b值

>> xi = 1:0.1:3;

>> yi = polyval(a,xi); %polyval()函數相當于已知自變量xi和函數a求函數值

>> plot(x,y,'o',xi,yi);上述擬合之后的曲線和原數據點的分布關系如圖

>> x = [1.2 3.3 4.5 7.8 9.9 6.7 10.3 13.2 ];

>> y = [2.3 4.5 6.7 7.3 7.6 8.6 9.8 11.2 ];

>> [p,s,mu] = polyfit(x,y,1)

p =

2.6369 7.2500 %該處顯示擬合函數為g(x) = 2.6369*x+7.2500

s =

包含以下字段的 struct:

R: [2×2 double]

df: 6

normr: 2.7837

mu =

7.1125

3.9991

(2) 非線性曲線擬合：

1、fit():

對于非線性擬合時需要使用fittype()函數，該函數可以指定所要構造的擬合函數

如下面的例子中 ，我們想使用g(x)來擬合曲線，先使用fittype()函數將其指定該p，然后調用fit()函數來擬合

>> x = [1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]';

>> y = [0.9 1.7 2.2 2.6 3.0]';

>> p = fittype('a*x+b*sin(x)+c');

>> f = fit(x,y,p)

f =

General model:

f(x) = a*x+b*sin(x)+c

Coefficients (with 95% confidence bounds):

a = 1.249 (0.9856, 1.512) %此處a,b,c為上述擬合函數的系數最優值

b = 0.6357 (0.03185, 1.24) %此處括號里顯示的為置信區間。詳見下文鏈接。

c = -0.8611 (-1.773, 0.05094)

>>plot(f,x,y);

由于曲線擬合只是對于曲線的逼近，其值并不一定確定，在逼近的時候會有誤差，置信區間實質上反應了值擺動的一個可能的范圍。置信區間_百度百科?baike.baidu.com

2、nlinfit():

調用格式：

f = nlinfit(x,y,fun,f0):

上式中，x和y為觀察數據的自變量和因變量，fun為待擬合的模型表達式，可以為y = f(x)的M文件的函數名，或者由inline()函數表示，y0是模型初始參數的估計值，計算后獲得的返回值y為最小二乘法估計得出的模型最佳系數。

[y,r,J] = nlinfit(x,y,fun,y0):

曲線擬合后的返回參數r為擬合的殘差，而J為殘差r對a的Jacobi向量構成的矩陣。

[……] = nlinfit(x,y,fun,y0,options):

參數options對擬合過程進行設置，其中包括Maxlter(最大迭代次數)、TolFun(函數參數平方和允許值)、TolX(擬合系數允許的誤差值)和Display(控制擬合過程的顯示，其中off表示不現實輸出、iter顯示每次迭代的結果、final只顯示最終結果、notify只在函數不收斂的時候顯示結果)

3、lsqcurvefit():

調用格式：

[a,rnorm,r,exitflag] = lfqcurvefit(fun,a0,X,Y,lb,ub,options):

其中fun為待擬合的模型表達式，可以為y = f(x)的M文件函數名，或者由inline()函數表示，a0為模型系數的初始估計值，lb和ub分別為擬合系數的預估下界和上界，參數options用于擬合過程設置，同函數nlinfit()，函數返回的參數中a為擬合估計系數，rnorm為誤差平方和，r為擬合模型的殘差，exitflag為運行情況。

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總結

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