實驗目的

[1] 學習由實際問題去建立數(shù)學模型的全過程；

[2] 訓練綜合應用數(shù)學模型、微分方程、函數(shù)擬合和預測的知識分析和解決實際問題； [3] 應用matlab 軟件求解微分方程、作圖、函數(shù)擬合等功能，設計matlab 程序來求解

其中的數(shù)學模型；

[4] 提高論文寫作、文字處理、排版等方面的能力；

通過完成該實驗，學習和實踐由簡單到復雜，逐步求精的建模思想，學習如何建立反映人口增長規(guī)律的數(shù)學模型，學習在求解最小二乘擬合問題不收斂時，如何調整初值，變換函數(shù)和數(shù)據(jù)使優(yōu)化迭代過程收斂。

應用實驗(或綜合實驗)

一、實驗內容

從1790—1980年間美國每隔10年的人口記錄如表綜2.1所示：

表綜2.1

用以上數(shù)據(jù)檢驗馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長模型，根據(jù)檢驗結果進一步討論馬爾薩斯人口模型的改進，并利用至少兩種模型來預測美國2010年的人口數(shù)量。

二、問題分析

1：Malthus 模型的基本假設是：人口的增長率為常數(shù)，記為 r 。記時刻t 的人口為x (t )，(即x (t )為模型的狀態(tài)變量)且初始時刻的人口為x 0，于是得到如下微分方程：

?????==0

)0(d d x x rx

t

x

2：阻滯增長模型(或Logistic 模型) 由于資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用，人

口增長到一定數(shù)量后，增長率會下降，假設人口的增長率為x 的減函數(shù)，如設r(x)=r(1-x/x m )，其中r 為固有增長率(x 很小時)，x m 為人口容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量)，于是得到如下微分方程：

??

???=-=0)0()1(d d x

x x x rx t x

m

總結

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