如果信號x(t)是周期信號，那么對于所有t，存在一個最小正數T，使得x(t)=x(t+T)其中T為這個周期信號的最小正周期。根據周期函數的周期性:x(t)=x(t+N*T)(N為整數)

稱為這個信號的基波頻率

周期信號x(t)也可以用周期復指數信號表示則因為x(t)是周期信號，那么

所以那么周期信號T必須滿足倍數關系，也就是N*2π倍數關系(N為整數)，而不能是非2π倍數關系。對于復指數信號的最小正周期為T，同時對應的基波頻率w₀，然而這個復指數信號可能含有其他諧波頻率的復指數，而這些復指數是以T為基準周期的，實際上比最小正周期T小。而諧波復指數信號的周期必須是最小正周期的T\K，(其中K為非零整數)，復指數信號才可能含有諧波復指數信號。例如：這個周期函數最小正周期2π，但含有3次諧波的函數，3次諧波周期為基波周期的2π\3，因此這個信號中不僅有基波信號，還有三次諧波信號。在一個最小正周期內,只有最小正周期是諧波周期的整數倍時，兩者波形的起點和終點才能重合。周期信號x(t)是以T為最小正周期的，與x(t)有關的周期諧波復指數信號集合可以表示如下：那么對于一個周期為T₀的信號就可用周期復指數諧波信號疊加而成。上式的表達式就是傅里葉級數，其中a_k代表周期復指數諧波信號的振幅分量，又稱傅里葉系數或者頻譜系數，w₀代表信號的基波頻率，kw₀代表諧波頻率，當K=0時為常數，當K=1時為基波頻率，當K=2時為2次諧波。以周期為T₀的信號可以用復指數諧波信號疊加而成，那么應該如何求解傅里葉系數呢？方程兩邊同時乘以-jnwt，兩邊同時積分。如果周期信號為實信號，傅里葉系數存在以下關系a_k^*=a_-k(a_k的共軛復數等于a_-k)證明：如果x(t)是實周期函數，那么有x(t)^*=x(t)(共軛關系)令k=-k，目的是調換位置，使得復指數項從負到正。因為?比較兩式得：從而a_k的共軛等于a_-k。例題1：x(t)是以基波頻率為2π的周期信號，x(t)寫成以下形式。其中，a₀=1,，a₁=a_-1=1/4，a₂=a_-2=1/2，a₃=a_-3=1/3，求其傅里葉展開式解：將(1-1)式中具有同一諧波頻率的諧波分量合在一起，重新組合得例題2：x(t)是sint，基波頻率為2π的實信號，求其傅里葉展開式。由歐拉公式得：則則k₁=1/2j，k_-1=-1/2j,a_k=0(k≠±1)例題3，在電工學中，函數信號發生器可以產生方波，方波的幅值和相角可以調整，為了方便，設定原點為方波的對稱點，幅值為1，最小正周期為2，波形以下展示。f(t)的周期為2，頻率為π，f(t)用傅里葉級數展開通過推導聯立兩個方程：用三角級數表示取k=17，自變量t為2π，Matlab代碼如下：>> clear all>> x=0:0.001:2*pi;>> y=4/pi*(sin(pi*x)+1/3*sin(3*pi*x)+1/5*sin(5*pi*x)+1/7*sin(7*pi*x)+1/9*sin(9*pi*x)+1/11*sin(11*pi*x)+1/13*sin(13*pi*x)+1/15*sin(15*pi*x)+1/17*sin(17*pi*x));>> plot(x,y,'b')輸出二維圖形如下：

例題4，如圖所示是三角波周期函數，最小正周期為2，求其傅里葉展開式。f(t)的周期為2，基波頻率為π，f(t)用傅里葉級數展開通過推導

聯立兩個方程，用三角級數表示也可以用Matlab進行傅里葉展開驗證，取變量t為2π，k=11時，如下圖所示。代碼如下：>> clear all>> x=0:0.001:2*pi;>> y=0.5-4*(1/(pi*pi)*cos(pi*x)+1/(9*pi*pi)*cos(3*pi*x)+1/(25*pi*pi)*cos(5*pi*x)+1/(49*pi*pi)*cos(7*pi*x)+1/(81*pi*pi)*cos(9*pi*x)+1/(121*pi*pi)*cos(11*pi*x)+1/(169*pi*pi)*cos(13*pi*x));>> plot(x,y,'r')輸出二維圖形如下：

參考內容

[1]奧本海姆.信號與系統[M]，第二版，北京：電子工業出版社，2013.

[2]王晶,翁國慶.張有兵.電力系統的MATLAB/SIMMULINK仿真與應用[M],西安：西安電子科技大學出版社，2008.

總結

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