本文復習求解線性方程組的經典迭代法的理論部分，且主要是單步迭代法.

下一節將會是MATLAB編程實現，并大概比較下各算法的優劣.

我們考慮的問題是求解線性方程組

,其中 是n階實方陣， 是n維列向量.

目錄

迭代法的一般格式

Jacobi迭代

Gauss-Seidel迭代

JOR迭代

SOR迭代

1.一般格式

單步迭代法的一般格式是

, 是迭代初值，矩陣 被稱為迭代矩陣.

任意給定初值后，由上述迭代格式可以確定一列向量

,若有 ，則稱迭代格式是收斂的.

若迭代格式收斂，在迭代格式兩端取極限，得

,為了由此方程得到原方程得解，我們引入相容性的概念：稱 與方程 是相容的，若存在可逆n階方陣 ，使得 。可以看出，若相容性條件滿足，迭代所得的極限就是原方程的解.

下面給出迭代收斂的充要條件

定理1.1 任給初值 ,迭代格式 收斂的充要條件是迭代矩陣 的譜半徑 .

實際應用中，譜半徑的計算是非常困難的，注意到矩陣的譜半徑與矩陣范數的關系，可以給出下面的更易行的收斂性判據和先驗與后驗誤差估計.

定理1.2 若存在由某向量范數 誘導出的矩陣范數 ,使得 ,則迭代法收斂，且有下列誤差估計式 （1） （2）

上面第一個式子叫做先驗誤差估計，即可以通過最初兩步的迭代值估計出第k步與真值的誤差.第二個式子叫做后驗誤差估計，即可以通過最近算完的k和k-1兩步估計出k步與真值的誤差.

在實際應用中，計算機只能計算有限步，故我們采用有限次迭代后的結果逼近真實解.上面兩式給出了逼近的誤差估計。若要求誤差不超過

，當迭代序列 逼近真實解時， 已經很小了，（2）式中的系數 若忽略不計，可以得到迭代時的中止條件 ，這個條件容易編程實現.

觀察(1)式可見，迭代法的收斂速度估計可由

來決定，定義 ,來刻畫收斂速度.但是對于不同的迭代矩陣，隨著k的值不同，迭代速度常常沒有固定的大小關系，為此我們定義漸進收斂速度： .進一步我們有下面的定理：定理 1.3 若單步迭代法的迭代矩陣為，則 .

4.2 Jacobi迭代法

做下列約定，給定方陣

， 的元素可分為三類：主對角線，主對角線下的，主對角線上的。將這三類元素分開，得到矩陣 的分解 ,其中 分別是下三角，對角，上三角矩陣.

假設

可逆，對方程 ，保留對角線元素不動，其余元素移至右邊，得到 ,等價于 ,從而可以構造Jacobi迭代格式：

對于上述迭代法，我們有如下的收斂性判據

定理 2.1 若系數矩陣 對稱，對角元都大于零，則Jacobi迭代法收斂的充要條件是 都是正定矩陣.

此外還有更易于驗證的充分條件

定理 2.2 若系數矩陣 嚴格對角占優或者不可約對角占優，則Jacobi迭代法收斂.

4.3 Gauss-Seidel迭代法

改進Jacobi方法，考慮到計算

,時使用到的全部是 的分量，若先計算并更新 ,再將更新后的值用于計算 ，依次類推，最后完全計算得到 ，這就是Gauss-Seidel迭代法.

G-S迭代法有矩陣格式如下：

類似上一節，有下面的收斂判據

定理 3.1 實對稱且正定，則G-S迭代法收斂.定理 3.2 嚴格對角占優或不可約對角占優，則G-S迭代法收斂.

4.4 JOR迭代

逐次超松弛迭代(Successive Overrelaxation Iteration ) 是用于加速經典迭代格式的一種技術，通過引入適當的松弛因子來加快收斂速度.

本節以應用于Jacobi迭代來闡明此加速技術，得到JOR迭代法.

以下凡涉及某矩陣的逆，都假設其存在.

Jacobi迭代有等價形式

相鄰兩項差值

,對差值引入松弛因子 ,得到 ,整理即得JOR迭代格式：

自然地，我們期望隨著松弛因子不同，收斂的速度會發生改變，那么松弛因子取什么值最佳？下面的定理回答了這個問題.

定理 4.1 當Jacobi迭代法的迭代矩陣 特征值為實數，且譜半徑小于1時，JOR迭代法有最佳松弛因子 ,其中 是 的最小和最大特征值.此外，若 時，JOR迭代的收斂速度快于Jacobi迭代.

下面是JOR迭代收斂性判據

定理 4.2 具有正對角元且對稱，則JOR法收斂的充要條件是 均正定.定理 4.3 若已有Jacobi迭代法收斂且 ，則JOR法收斂.

具體地，我們有下列定理

定理 4.4 若 嚴格對角占優或不可約對角占優，則松弛因子 的JOR迭代法收斂.

4.5 SOR迭代

本節將逐次超松弛迭代技術用于G-S迭代法，得到SOR迭代法.

將G-S迭代格式改寫為

,對上式引入松弛因子得到 ，整理得SOR迭代 .

對于收斂性，我們有下面的定理

定理 5.1 SOR法收斂的必要條件是 .定理 5.2 當 對稱正定時， 是SOR法收斂的充要條件.定理 5.3 當 嚴格對角占優或不可約對角占優，則 時SOR法收斂.

關于最佳松弛因子，我們有下面的定理

定理 5.4 SOR方法收斂的最佳松弛因子是

本文內容大概就是這些，成文倉促，如有錯誤，歡迎指正.

下一節將會是編程實現，并用于求解逼近微分方程的線性方程組并用實例粗略地比較各個迭代法的收斂速度.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的jacobi迭代法matlab_解线性方程组的经典迭代法(1)-理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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