傅立葉變換

傅立葉變換是一種常見的分析方法，傅立葉變換將滿足一定條件的函數表示為一些函數的加權和(或者積分)。可以分為四個類別：?

1. 非周期連續性信號?

對應于傅里葉變換，頻域連續非周期?

2. 周期性連續性信號?

對應于傅立葉級數，頻域離散非周期?

3. 非周期離散信號?

對應于DTFT(離散時間傅立葉變換)，頻域連續周期?

4. 周期性離散信號?

對應于DFT(離散時間傅立葉變換)，頻域離散周期

傅立葉級數

首先從傅立葉級數開始分析，傅立葉級數是將一個信號在一組正交基上進行分解的體現。

連續時間傅立葉變換

離散時間傅立葉變換

離散時間傅立葉變換在頻域上是連續的，但由于計算機無法表示無限長的時間片段，已經無法表示全部頻率，一般取一定頻域的分量。

二維傅立葉變換

傅立葉變換實現

只有離散傅里葉變換才可以實現，在MATLAB中實現有fft，fft2進行傅里葉變換，同樣可以手動進行變換。

一維傅立葉變換

% xn是信號，n是坐標，N是點數% N =8;% n = [0:1:N-1];% xn = 0.5.^n; % 指數信號function [] = DFTusefft(xn,n,N) figure(1); Xk=fft(xn,N); % 傅立葉變換 subplot(211); stem(n,xn); title('原信號'); subplot(212); stem(n,abs(Xk)); title('FFT變換')end

DTFT?由于DTFT的頻域是連續的而且是無窮的，當我們選擇的最高頻域足夠高時，可以基本代表信號特征，可以進行編程。

function [] = DFT(xn,n,N) Xk = zeros(1,N); for k=1:N sn =0.0; for i=1:N sn = sn+xn(i)*exp(-j*2*pi*i*k/N); end Xk(k) = sn; end figure(2); subplot(211); stem(n,xn); title('原信號'); subplot(212); stem(n,abs(Xk)); title('DFT')end

二維傅立葉變換

function [] = imageDFT2fft() I=imread('rice.png');????????I=im2double(I); [x,y] = size(I); Ax = ones(x,y); ans = ones(x,y); com = 0+1i; % 對每一列進行DFT for m=1:y Ax(:,m) = fft(I(:,m)); end % 對每一行進行DFT for k=1:x ans(k,:) = fft(Ax(k,:)); end F=fftshift(ans); F= abs(F); F=log(F+1); figure(7); imshow(F,[]);end

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總結

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