光(復振幅)在自由空間中傳播的matlab仿真

??光在空間中傳播是一種很常見的現象，經過前人的努力，描述光的傳播已經具有一套非常完整的理論，那便是傅里葉光學。借助傅里葉分析工具，可以很容易地分析光的傳播規律。本文主要介紹如何利用matlab實現光在空間中的自由傳播的仿真。即若已知一個物面分布，那么就可以計算出該物面的光傳播到空間中任意位置的新強度；

參考資料：

• 秦克誠的 《傅里葉光學》 (第三版)，P40-44；
• Contemporary Optical Image Processing with MATLAB；
• 如果是光線旁軸追跡，可以參考《矩陣光學》。

一、問題描述

圖1 物光傳播到z面的示意圖

??問題說明：如圖1所示，已知在z=0的平面內光波(復振幅)分布為U(x,y; 0)，求解當光傳播z距離之后的光波(復振幅)分布。
說明：光是一種電磁波，對光的描述可以用復振幅$U(x,y)=A(x,y)?exp\left(j?\phi (x,y)\right)$來表示，其中A(x,y)表示平面內的振幅分布，φ(x,y)表示平面內的相位分布。
??光在自由空間中傳播這一基礎知識點涉及到光學中的很多應用，比如光的衍射問題，生物顯微成像(相位恢復)，研究成像系統問題等等。而且其理論知識也比較基礎，很適合作為剛接觸計算成像的同學的入手點。
??如圖，設置物面的振幅是“相機人”，相位是“lena”，當光傳播一段距離后，相位信息會表現在光強中。

二、光在空間中的傳播模型

??在《傅里葉光學》中，它構建了一種角譜傳播理論，即從一種頻譜的角度來分析光的傳播規律。由傅里葉變換關系可知
$$U(x,y;0)=\underset{?\infty }{\overset{\infty }{\int }}\int A(f_X,f_Y;0)\exp [?j2\pi (f_{X}x+f_{Y}y)]d{f}_{X}d{f}_Y$$其中$A(f_X,f_Y;0)$表示在z=0平面上$U(x,y;0)$的頻譜。

??因為光是一種電磁波，且在自由空間中傳播是無源的，所以$U(x,y;0)$滿足亥姆霍茲方程：
$${?}^{2}U+k^{2}U=0$$將上一式代入此式可得：
$$\frac{d^2}{d{z}^2}A\left(f_X,f_Y;z\right)\text{?+?4}{\pi }^2\left[\frac{1}{{\lambda }^2}?f_X^2?f_Y^2\right]A\left(f_X,f_Y;z\right)=0$$這個二階微分方程的一個基元解是
$$A\left(f_X,f_Y;z\right)\text{?=?}A\left(f_X,f_Y;0\right)\exp \left(j2\pi z\sqrt{\frac{1}{{\lambda }^2}?f_X^2?f_Y^2}\right)$$這個解就是使用matlab做仿真的關鍵。它描述了在傳播z距離后，傳播面的頻譜與初始頻譜之間的關系，主要表現是在不同的頻率分量上引入的相位偏移；

并且具有傳播的限制條件：$f_X^2+f_Y^2<\frac{1}{{\lambda }^2}$，即光無法傳播空間頻率大于1/λ的頻率。

??在獲得了z距離下的頻譜之后，由傅里葉變換關系可以求得傳播z距離后的光波(復振幅)分布為：
$$U(x,y;z)=\underset{?\infty }{\overset{\infty }{\int }}\int A(f_X,f_Y;0)?\exp \left(j2\pi z\sqrt{\frac{1}{{\lambda }^2}?f_X^2?f_Y^2}\right)?circ(\frac{\sqrt{f_X^2+f_Y^2}}{\lambda })?\exp [?j2\pi (f_{X}x+f_{Y}y)]d{f}_{X}d{f}_Y$$

三、光傳播的matlab仿真

??遵從第二節的模型，matlab仿真流程主要為：初始化參數 -> 對圖像做FT -> 計算z距離下的頻譜 -> 求解圖像；
在仿真中，需要注意構建具有真實量綱的頻率。

% 實現光在自由空間中傳播的matlab仿真 % 流程：初始化參數 -> 對圖像做FT -> 角譜傳播，計算z距離下的頻譜 -> 求解圖像；clc, clear close all% 初始化參數 z = 100; % 傳播距離（mm） L = 50; % 物面的長 W = 50; % 物面的寬 lamda = 532e-6; % 光波長% 振幅和相位 A = im2double(imread('./cameraman.tif')); % 振幅和相位可以設置不同的值， Phi = im2double(imread('./lena.tif')); % 可以是純相位或純振幅物體； U0 = A.*exp(1j*2*pi*Phi);% 初始化頻率 [r_dim, c_dim, ~] = size(U0); fX = [0:fix(r_dim/2),ceil(r_dim/2)-1:-1:1]/L; fY = [0:fix(c_dim/2),ceil(c_dim/2)-1:-1:1]/L; [fy,fx] = meshgrid(fY,fX); % 對圖像做傅里葉變換 U0_fft = fft2(U0);% 角譜傳播 f = sqrt(fx.^2+fy.^2); circ_f = circ(f.*lamda); % 高于1/λ的頻率無法傳播 Uz_fft = U0_fft.*exp(1j*2*pi*z.*sqrt(1./lamda.^2-f.^2)).*circ_f;% 復原圖像 Uz = ifft2(Uz_fft);% 顯示圖像 imshow(abs([U0 Uz]),[]); set(gcf, 'outerposition', get(0,'ScreenSize'));

① 對于純相位物體：對于大部分生物細胞來說是透明的，所以主要特點表征在相位中，通過衍射傳播的方式可以將相位反演出來。

② 對于純振幅物體：隨著傳播距離增加，物光圖像會越來越模糊。

歡迎大家學習交流！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的光(复振幅)在自由空间中传播的matlab仿真——傅里叶光学方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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