MATLAB程序設(shè)計(jì)教程(7)——MATLAB解方程與函數(shù)極值

第7章MATLAB解方程與函數(shù)極值

7.1? 線性方程組求解

7.2? 非線性方程數(shù)值求解

7.3? 常微分方程初值問題的數(shù)值解法

7.4 函數(shù)極值

7.1線性方程組求解

7.1.1 直接解法

1．利用左除運(yùn)算符的直接解法

對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“/”求解：

x=A/b

例7-1? 用直接解法求解下列線性方程組。

命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]’;

x=A/b

2．利用矩陣的分解求解線性方程組

矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇異分解等。

(1) LU分解

矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進(jìn)行的。

MATLAB提供的lu函數(shù)用于對矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為：

[L,U]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。

[L,U,P]=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。

實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U/(L/b)或x=U/(L/Pb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。

例7-2? 用LU分解求解例7-1中的線性方程組。

命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]’;

[L,U]=lu(A);

x=U/(L/b)

或采用LU分解的第2種格式，命令如下：

[L,U ,P]=lu(A);

x=U/(L/P*b)

(2) QR分解

對矩陣X進(jìn)行QR分解，就是把X分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為：

[Q,R]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R，使之滿足X=QR。

[Q,R,E]=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足XE=QR。

實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R/(Q/b)或x=E(R/(Q/b))。

例7-3? 用QR分解求解例7-1中的線性方程組。

命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]’;

[Q,R]=qr(A);

x=R/(Q/b)

或采用QR分解的第2種格式，命令如下：

[Q,R,E]=qr(A);

x=E*(R/(Q/b))

(3) Cholesky分解

如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=R’R。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對矩陣X進(jìn)行Cholesky分解，其調(diào)用格式為：

R=chol(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R，使R‘R=X。若X為非對稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。

[R,p]=chol(X)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。當(dāng)X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個(gè)正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個(gè)階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足R’R=X(1:q,1:q)。

實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成R‘Rx=b，所以x=R/(R’/b)。

例7-4? 用Cholesky分解求解例7-1中的線性方程組。

命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]’;

R=chol(A)

??? Error using ==> chol

Matrix must be positive definite

命令執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤信息，說明A為非正定矩陣。

7.1.2 迭代解法

迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。

1．Jacobi迭代法

對于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，即aii≠0(i=1,2,…,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對角陣，其元素為A的對角元素，L與U為A的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為：

x=D-1(L+U)x+D-1b

與之對應(yīng)的迭代公式為：

x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b

這就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收斂于x，則x必是方程Ax=b的解。

Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下：

function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)

if nargin==3

eps=1.0e-6;

elseif nargin<3

error

return

end

D=diag(diag(A));??? %求A的對角矩陣

L=-tril(A,-1);?????? %求A的下三角陣

U=-triu(A,1);?????? %求A的上三角陣

B=D/(L+U);

f=D/b;

y=B*x0+f;

n=1;????????????????? %迭代次數(shù)

while norm(y-x0)>=eps

x0=y;

y=B*x0+f;

n=n+1;

end

例7-5? 用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。

在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：

A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];

b=[9,7,6]’;

[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]’,1.0e-6)

2．Gauss-Serdel迭代法

在Jacobi迭代過程中，計(jì)算時(shí)，已經(jīng)得到，不必再用，即原來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進(jìn)為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：

x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b

該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會高些。

Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m如下：

function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)

if nargin==3

eps=1.0e-6;

elseif nargin<3

error

return

end

D=diag(diag(A));??? %求A的對角矩陣

L=-tril(A,-1);????? %求A的下三角陣

U=-triu(A,1);?????? %求A的上三角陣

G=(D-L)/U;

f=(D-L)/b;

y=G*x0+f;

n=1;????????????????? %迭代次數(shù)

while norm(y-x0)>=eps

x0=y;

y=G*x0+f;

n=n+1;

end

例7-6? 用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。

在命令中調(diào)用函數(shù)文件gauseidel.m，命令如下：

A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];

b=[9,7,6]’;

[x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]’,1.0e-6)

例7-7? 分別用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組，看是否收斂。

命令如下：

a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];

b=[9;7;6];

[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0])

[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])

7.2非線性方程數(shù)值求解

7.2.1 單變量非線性方程求解

在MATLAB中提供了一個(gè)fzero函數(shù)，可以用來求單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為：

z=fzero(‘fname’,x0,tol,trace)

其中fname是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近的那個(gè)根。tol控制結(jié)果的相對精度，缺省時(shí)取tol=eps，trace指定迭代信息是否在運(yùn)算中顯示，為1時(shí)顯示，為0時(shí)不顯示，缺省時(shí)取trace=0。

例7-8? 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。

步驟如下：

(1) 建立函數(shù)文件funx.m。

function fx=funx(x)

fx=x-10.^x+2;

(2) 調(diào)用fzero函數(shù)求根。

z=fzero(‘funx’,0.5)

z =

0.3758

7.2.2 非線性方程組的求解

對于非線性方程組F(X)=0，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為：

X=fsolve(‘fun’,X0,option)

其中X為返回的解，fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名，X0是求根過程的初值，option為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱提供了20多個(gè)選項(xiàng)，用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來。如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng)，則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來完成。例如，Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中‘off’為不顯示，‘iter’表示每步都顯示，‘final’只顯示最終結(jié)果。optimset(‘Display’,‘off’)將設(shè)定Display選項(xiàng)為‘off’。

例7-9? 求下列非線性方程組在(0.5,0.5) 附近的數(shù)值解。

(1) 建立函數(shù)文件myfun.m。

function q=myfun(p)

x=p(1);

y=p(2);

q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);

q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);

(2) 在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調(diào)用fsolve函數(shù)求方程的根。

x=fsolve(‘myfun’,[0.5,0.5]’,optimset(‘Display’,’off’))

x =

0.6354

0.3734

將求得的解代回原方程，可以檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，命令如下：

q=myfun(x)

q =

1.0e-009 *

0.2375??? 0.2957

可見得到了較高精度的結(jié)果。

7.3常微分方程初值問題的數(shù)值解法

7.3.1 龍格－庫塔法簡介

7.3.2 龍格－庫塔法的實(shí)現(xiàn)

基于龍格－庫塔法，MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：

[t,y]=ode23(‘fname’,tspan,y0)

[t,y]=ode45(‘fname’,tspan,y0)

其中fname是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。tspan形式為[t0,tf],表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向量。t和y分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。

例7-10? 設(shè)有初值問題，試求其數(shù)值解，并與精確解相比較(精確解為y(t)=)。

(1) 建立函數(shù)文件funt.m。

function yp=funt(t,y)

yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);

(2) 求解微分方程。

t0=0;tf=10;

y0=2;

[t,y]=ode23(‘funt’,[t0,tf],y0);?? %求數(shù)值解

y1=sqrt(t+1)+1;???????????? %求精確解

t’

y’

y1′

y為數(shù)值解，y1為精確值，顯然兩者近似。

例7-11? 求解著名的Van der Pol方程。

例7-12? 有Lorenz模型的狀態(tài)方程，試?yán)L制系統(tǒng)相平面圖。

7.4函數(shù)極值

MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值的函數(shù)fmin和fmins，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調(diào)用格式為：

x=fmin(‘fname’,x1,x2)

x=fmins(‘fname’,x0)

這兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似。其中fmin函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點(diǎn)。fname是被最小化的目標(biāo)函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fmins函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點(diǎn)，x0是求解的初始值向量。

MATLAB沒有專門提供求函數(shù)最大值的函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上的最大值。

例7-13? 求f(x)=x3-2x-5在[0,5]內(nèi)的最小值點(diǎn)。

(1) 建立函數(shù)文件mymin.m。

function fx=mymin(x)

fx=x.^3-2*x-5;

(2) 調(diào)用fmin函數(shù)求最小值點(diǎn)。

x=fmin(‘mymin’,0,5)

x=

0.8165

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab 解函数方程,MATLAB程序设计教程(7)—MATLAB解方程与函数极值的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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